Qual o valor da expressão:
Passo 1
Estamos querendo calcular o valor da expressão:
Esse problema envolve integração dupla e o uso da função logaritmo natural,
. Para resolver, vamos calcular cada uma das integrais duplas separadamente e depois somar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira integral dupla:
Vamos começar resolvendo a integral interna em relação a
.
Passo 3
A integral interna é:
A antiderivada de
é:
Portanto, avaliando de
a
:
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
Vamos separar essa integral em partes:
Passo 5
Calculando cada integral:
- Primeira parte:
Fazendo a substituição
,
, temos:
No entanto, essa integral é divergente. Isso sugere que precisamos revisar nossos passos ou considerar a convergência das integrais.
Passo 6
Observando a integral original, percebemos que o domínio de integração para
com
próximo a
faz com que
tenda ao infinito, mas como o limite superior é
, na verdade, há um erro na avaliação anterior.
Vamos corrigir:
A integral correta é:
Substituindo de volta:
A segunda integral,
, é divergente, mas ao somarmos com a segunda parte da expressão original, podemos cancelar essas divergências.
Passo 7
Agora, vamos calcular a segunda integral dupla:
Como
não depende de
, podemos integrar primeiro em
:
Resposta
Após calcular ambas as integrais, obtemos:
Portanto, o valor da expressão é
.