Qual o valor da expressão:

Passo 1

Estamos querendo calcular o valor da expressão:
Esse problema envolve integração dupla e o uso da função logaritmo natural, . Para resolver, vamos calcular cada uma das integrais duplas separadamente e depois somar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira integral dupla:
Vamos começar resolvendo a integral interna em relação a .

Passo 3

A integral interna é:
A antiderivada de é:
Portanto, avaliando de a :

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
Vamos separar essa integral em partes:

Passo 5

Calculando cada integral:
  1. Primeira parte:
Fazendo a substituição , , temos:
No entanto, essa integral é divergente. Isso sugere que precisamos revisar nossos passos ou considerar a convergência das integrais.

Passo 6

Observando a integral original, percebemos que o domínio de integração para com próximo a faz com que tenda ao infinito, mas como o limite superior é , na verdade, há um erro na avaliação anterior.
Vamos corrigir:
A integral correta é:
Substituindo de volta:
A segunda integral, , é divergente, mas ao somarmos com a segunda parte da expressão original, podemos cancelar essas divergências.

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda integral dupla:
Como não depende de , podemos integrar primeiro em :

Resposta

Após calcular ambas as integrais, obtemos:
Portanto, o valor da expressão é .

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