A série no Exercício 5 também pode ser escrita como
Escreva-a como uma soma começando com (a) , (b) , © .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos mostra duas formas de escrever uma série infinita:
O conteúdo aqui envolve séries infinitas e mudança de índice de soma. Para resolver, vamos precisar entender como reindexar uma série, ou seja, como ajustar o valor de para que a soma comece em um índice diferente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa reindexar uma série. Quando temos uma série como:
E queremos que ela comece em um índice diferente, digamos , fazemos uma mudança de variável para ajustar o índice. Isso geralmente envolve substituir por , onde é a diferença entre os novos e antigos índices.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso nas partes (a), (b) e © do exercício.

(a) Escrever a série começando com

A forma original é . Queremos que ela comece em .
Vamos deixar a expressão geral .
Para que a série comece em , precisamos ajustar para que, quando , corresponda ao primeiro termo da série original ( ).
Isso significa que:
Então, substituindo:

(b) Escrever a série começando com

Usando a forma , queremos que comece em .
Aqui, quando , queremos que corresponda ao da série original.
Então:
Substituindo na soma:

© Escrever a série começando com

Vamos retornar à forma original . Queremos que comece em .
Isso significa que na nova soma corresponde a na original. Então:
Substituindo:

Resposta

(a) Começando com :
(b) Começando com :
© Começando com :

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