A série no Exercício 5 também pode ser escrita como
Escreva-a como uma soma começando com (a)
, (b)
, ©
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos mostra duas formas de escrever uma série infinita:
O conteúdo aqui envolve séries infinitas e mudança de índice de soma. Para resolver, vamos precisar entender como reindexar uma série, ou seja, como ajustar o valor de
para que a soma comece em um índice diferente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa reindexar uma série. Quando temos uma série como:
E queremos que ela comece em um índice diferente, digamos
, fazemos uma mudança de variável para ajustar o índice. Isso geralmente envolve substituir
por
, onde
é a diferença entre os novos e antigos índices.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso nas partes (a), (b) e © do exercício.
(a) Escrever a série começando com
A forma original é
. Queremos que ela comece em
.
Vamos deixar a expressão geral
.
Para que a série comece em
, precisamos ajustar
para que, quando
, corresponda ao primeiro termo da série original (
).
Isso significa que:
Então, substituindo:
(b) Escrever a série começando com
Usando a forma
, queremos que comece em
.
Aqui, quando
, queremos que corresponda ao
da série original.
Então:
Substituindo na soma:
© Escrever a série começando com
Vamos retornar à forma original
. Queremos que comece em
.
Isso significa que
na nova soma corresponde a
na original. Então:
Substituindo:
Resposta
(a) Começando com
:
(b) Começando com
:
© Começando com
:
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