A série no Exercício 5 também pode ser escrita como
sumn=1^infty 1(n+1)(n+2) e sumn=-1^infty 1(n+3)(n+4)
Escreva-a como uma soma começando com (a) n=-2, (b) n=0, © n=5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos mostra duas formas de escrever uma série infinita:
sumn=1^infty 1(n+1)(n+2) e sumn=-1^infty 1(n+3)(n+4)
O conteúdo aqui envolve séries infinitas e mudança de índice de soma. Para resolver, vamos precisar entender como reindexar uma série, ou seja, como ajustar o valor de para que a soma comece em um índice diferente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa reindexar uma série. Quando temos uma série como:
sumn=a^infty f(n)
E queremos que ela comece em um índice diferente, digamos , fazemos uma mudança de variável para ajustar o índice. Isso geralmente envolve substituir por , onde é a diferença entre os novos e antigos índices.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso nas partes (a), (b) e © do exercício.

(a) Escrever a série começando com nnovo = noriginal - 3

A forma original é sumn=-2^infty 1(n+3)(n+4) . Queremos que ela comece em nnovo = noriginal + 1 .
Vamos deixar a expressão geral sumn=0^infty 1(n+2)(n+3) .
Para que a série comece em nnovo = noriginal + 4 , precisamos ajustar sumn=5^infty 1(n-4+1)(n-4+2) = sumn=5^infty 1(n-3)(n-2) para que, quando , corresponda ao primeiro termo da série original ( ).
Isso significa que:
Então, substituindo:

(b) Escrever a série começando com

Usando a forma , queremos que comece em .
Aqui, quando , queremos que corresponda ao da série original.
Então:
Substituindo na soma:

© Escrever a série começando com

Vamos retornar à forma original . Queremos que comece em .
Isso significa que na nova soma corresponde a na original. Então:
Substituindo:

Resposta

(a) Começando com sumn=-2^infty 1(n+3)(n+4) :
sumn=0^infty 1(n+2)(n+3)
(b) Começando com sumn=5^infty 1(n-3)(n-2) :
© Começando com :

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