(a) A série geométrica
( ) converge para

Passo 1

Então, a gente tem uma série geométrica que é assim: . A pergunta é saber se essa série converge para . Vamos usar os conceitos de série geométrica e verificar se a soma realmente dá esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o primeiro termo ( ) e a razão comum ( ) da série geométrica. A série começa com 1, então . Observando os termos seguintes, vemos que cada termo é multiplicado por . Portanto, a razão comum é .

Passo 3

Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão comum for menor que 1, ou seja, . Vamos verificar isso:
Como , a série converge.

Passo 4

Agora, vamos calcular a soma da série geométrica. A fórmula para a soma de uma série geométrica que converge é:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A série geométrica converge, mas o valor dela é , que não é igual a .

Exercícios relacionados

Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(f)
Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(o)
(a) A série geométrica
( ) converge para
Utilize o Teorema de Green para calcular a área das regiões abaixo.
é delimitada pelo círculo ;