Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma série geométrica: e pergunta se essa série converge para . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica, identificar seu primeiro termo e a razão comum, e então usar a fórmula da soma infinita para verificar se a soma realmente é .
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é uma série geométrica. É uma sequência em que cada termo após o primeiro é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão comum (). A soma infinita de uma série geométrica é dada por:
onde é o primeiro termo e para que a série convirja.
Passo 3
Vamos identificar o primeiro termo () da nossa série. Observando a série:
O primeiro termo é , então .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a razão comum (). Para isso, vamos dividir o segundo termo pelo primeiro:
Então, .
Passo 5
Vamos verificar se para confirmar que a série realmente converge. Calculando:
Como é menor que 1, podemos usar a fórmula da soma infinita.
Passo 6
Aplicando a fórmula da soma infinita:
Simplificando a fração:
Resposta
A série geométrica apresentada converge para , não para .