Qual a Série de Maclaurin do polinômio ?

Passo 1

Então, a gente tem um polinômio e a pergunta é para encontrar a Série de Maclaurin desse polinômio. A matéria que vamos usar aqui é séries de potência, mais especificamente a Série de Maclaurin, que é uma forma de expandir funções em séries infinitas. Vamos precisar entender como a Série de Maclaurin funciona e como aplicá-la a um polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Série de Maclaurin. É uma série de potências que expande uma função em torno de . A fórmula geral é:
Isso significa que a série é construída a partir das derivadas da função avaliadas em 0.

Passo 3

Agora, como aplicar isso a um polinômio ? Vamos notar que já é uma soma finita de termos polinomiais. Para cada termo no polinômio, vamos ver como ele se comporta na Série de Maclaurin.

Passo 4

Calculando as derivadas de :
  • A primeira derivada
  • Avaliando em , temos
  • A segunda derivada
  • Avaliando em , temos
  • E assim por diante, até a última derivada.

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula da Série de Maclaurin:
Onde cada , porque ao derivar vezes, obtemos .

Passo 6

Então, substituindo de volta:
Isso significa que a Série de Maclaurin do polinômio é exatamente o próprio polinômio.

Resposta

A Série de Maclaurin do polinômio é .

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Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função em torno do ponto indicado.
(h)
Esboce o gráfico de um exemplo de função de f que satisfaz todas as condições dadas.
g)
Represente as seguintes funções em séries de potências de :
©
Calcule .