Qual a Série de Maclaurin do polinômio
?
Passo 1
Então, a gente tem um polinômio
e a pergunta é para encontrar a Série de Maclaurin desse polinômio. A matéria que vamos usar aqui é séries de potência, mais especificamente a Série de Maclaurin, que é uma forma de expandir funções em séries infinitas. Vamos precisar entender como a Série de Maclaurin funciona e como aplicá-la a um polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Série de Maclaurin. É uma série de potências que expande uma função em torno de
. A fórmula geral é:
Isso significa que a série é construída a partir das derivadas da função avaliadas em 0.
Passo 3
Agora, como aplicar isso a um polinômio
? Vamos notar que
já é uma soma finita de termos polinomiais. Para cada termo
no polinômio, vamos ver como ele se comporta na Série de Maclaurin.
Passo 4
Calculando as derivadas de
:
- A primeira derivada
- Avaliando em
, temos - A segunda derivada
- Avaliando em
, temos - E assim por diante, até a última derivada.
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula da Série de Maclaurin:
Onde cada
, porque ao derivar
vezes, obtemos
.
Passo 6
Então, substituindo de volta:
Isso significa que a Série de Maclaurin do polinômio
é exatamente o próprio polinômio.
Resposta
A Série de Maclaurin do polinômio
é
.
Exercícios relacionados
Em cada caso, encontre a expansão de Taylor da função
em torno do ponto indicado.
(h)
(h)
Esboce o gráfico de um exemplo de função de f que satisfaz todas as condições dadas.
g)
g)
Represente as seguintes funções em séries de potências de
:
©
©
Calcule
.