(d) A série sumn=0^infty (-1)^n 3^2 n2^-3 n
( ) diverge
( ) converge para - 2
( ) converge para -171
( ) converge para 25
( ) converge para 173

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos a série infinita sumn=0^infty (-1)^n 3^2 n2^-3 n. O conteúdo envolvido aqui é a convergência de séries. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão geral da série e aplicar critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observe que 3^2n = (3^2)^n = 9^n e 2^-3n = (12^3)^n = (18)^n = 8^-n. Assim, podemos reescrever a série como:
sumn=0^infty (-1)^n cdot 9^n8^-n = sumn=0^infty (-1)^n cdot 9^n cdot 8^n

Passo 3

Agora, multiplicamos as potências iguais:
9^n cdot 8^n = (9 cdot 8)^n = 72^n
Portanto, a série simplifica para:
sumn=0^infty (-1)^n cdot 72^n

Passo 4

Vamos analisar a convergência dessa série. A série é do tipo alternada devido ao termo (-1)^n. Para verificar a convergência, podemos usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada sum (-1)^n an converge se:
  1. an é decrescente: an+1 <= an
  2. limlimitsn to infty an = 0
No nosso caso, an = 72^n, que não é decrescente e, na verdade, tende ao infinito conforme n aumenta.

Passo 5

Como an = 72^n tende ao infinito e não a zero, o Teste da Série Alternada indica que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados