Quais séries convergem? E quais divergem?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita: . O objetivo é determinar se essa série converge (isto é, se ela soma a um valor finito) ou diverge (não soma a um valor finito). Para resolver isso, vamos usar testes de convergência de séries, como o teste da comparação ou o teste da comparação limite.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento geral dos termos da série. Sabemos que quando cresce, se aproxima de , porque a tangente inversa de um número grande tende a . Então, podemos dizer que para grandes valores de , .

Passo 3

Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
Isso nos mostra que, para valores grandes de , os termos da nossa série se comportam como .

Passo 4

Agora, vamos comparar nossa série com a série p, que é . Sabemos que uma série p converge se . No nosso caso, , então a série converge.

Passo 5

Como os termos da nossa série original são aproximadamente iguais aos termos de uma série p convergente para grandes , podemos usar o teste da comparação limite. Isso significa que se o limite da razão entre os termos das duas séries for um número finito positivo, ambas as séries terão o mesmo comportamento de convergência.

Passo 6

Vamos calcular o limite:
Como e para grandes , o limite simplifica para:
Como o limite é um número finito positivo ( ), as duas séries têm o mesmo comportamento.

Resposta

Portanto, a série converge.

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Esboce o gráfico de cada função a seguir:
(d)
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