Quais séries convergem? E quais divergem? sumn=1^infty(8 arctan nn^2+1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita: sumn=1^infty(8 arctan nn^2+1). O objetivo é determinar se essa série converge (isto é, se ela soma a um valor finito) ou diverge (não soma a um valor finito). Para resolver isso, vamos usar testes de convergência de séries, como o teste da comparação ou o teste da comparação limite.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento geral dos termos da série. Sabemos que quando n cresce, arctan n se aproxima de pi2, porque a tangente inversa de um número grande tende a pi2. Então, podemos dizer que para grandes valores de n, arctan n approx pi2.

Passo 3

Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
8 arctan nn^2+1 approx 8 cdot pi2n^2 = 4pin^2
Isso nos mostra que, para valores grandes de n, os termos da nossa série se comportam como 1n^2.

Passo 4

Agora, vamos comparar nossa série com a série p, que é sumn=1^infty 1n^p. Sabemos que uma série p converge se p > 1. No nosso caso, p = 2, então a série sumn=1^infty 1n^2 converge.

Passo 5

Como os termos da nossa série original são aproximadamente iguais aos termos de uma série p convergente para grandes n, podemos usar o teste da comparação limite. Isso significa que se o limite da razão entre os termos das duas séries for um número finito positivo, ambas as séries terão o mesmo comportamento de convergência.

Passo 6

Vamos calcular o limite:
limn to infty 8 arctan nn^2+11n^2 = limn to infty 8 arctan n cdot n^2n^2+1
Como arctan n approx pi2 e n^2 + 1 approx n^2 para grandes n, o limite simplifica para:
limn to infty 8 cdot pi2 cdot n^2n^2 = 4pi
Como o limite é um número finito positivo ( 4pi), as duas séries têm o mesmo comportamento.

Resposta

Portanto, a série sumn=1^infty(8 arctan nn^2+1) converge.

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