Quais séries convergem? E quais divergem?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
. O objetivo é determinar se essa série converge (isto é, se ela soma a um valor finito) ou diverge (não soma a um valor finito). Para resolver isso, vamos usar testes de convergência de séries, como o teste da comparação ou o teste da comparação limite.
Passo 2
Vamos analisar o comportamento geral dos termos da série. Sabemos que quando
cresce,
se aproxima de
, porque a tangente inversa de um número grande tende a
. Então, podemos dizer que para grandes valores de
,
.
Passo 3
Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
Isso nos mostra que, para valores grandes de
, os termos da nossa série se comportam como
.
Passo 4
Agora, vamos comparar nossa série com a série p, que é
. Sabemos que uma série p converge se
. No nosso caso,
, então a série
converge.
Passo 5
Como os termos da nossa série original são aproximadamente iguais aos termos de uma série p convergente para grandes
, podemos usar o teste da comparação limite. Isso significa que se o limite da razão entre os termos das duas séries for um número finito positivo, ambas as séries terão o mesmo comportamento de convergência.
Passo 6
Vamos calcular o limite:
Como
e
para grandes
, o limite simplifica para:
Como o limite é um número finito positivo (
), as duas séries têm o mesmo comportamento.
Resposta
Portanto, a série
converge.
Exercícios relacionados
Quais séries convergem? E quais divergem?
Esboce o gráfico de cada função a seguir:
(d)
(d)
Quais séries convergem? E quais divergem?
Quais séries convergem? E quais divergem?