Utilize indução matemática para justificar a seguinte identidade:
Utilize essa informação para concluir que a série
é convergente. Calcule o valor desta soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar indução matemática para provar uma identidade envolvendo uma soma de frações. Depois, queremos usar essa identidade para mostrar que a série
é convergente e descobrir qual é o valor dessa soma. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a indução matemática e como analisar a convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é indução matemática. É um método usado para provar que uma afirmação é verdadeira para todo número natural
. A gente faz isso em dois passos:
- Base da indução: Mostrar que a afirmação é verdadeira para
. - Passo indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para um certo
e, com essa suposição, provar que ela também é verdadeira para .
Passo 3
Base da indução (
):
Vamos calcular o lado esquerdo da identidade para
:
Agora, o lado direito:
Então, para
, ambos os lados são iguais a
. A base da indução está confirmada!
Passo 4
Passo indutivo:
Vamos supor que a identidade seja verdadeira para
, ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 5
Agora, precisamos provar que a identidade também vale para
. Vamos considerar:
Simplificando os índices:
Agora, vamos somar as frações:
Fatorando o numerador:
Isso confirma que a identidade vale para
.
Passo 6
Como mostramos que a identidade é verdadeira para
e que se é válida para
então também é para
, por indução matemática, a identidade:
vale para todo número natural
.
Passo 7
Agora, vamos analisar a convergência da série
. Usando a identidade que provamos:
Como o limite existe e é finito, a série é convergente e o valor dessa soma é
.
Resposta
A série
é convergente e seu valor é
.