Utilize indução matemática para justificar a seguinte identidade:
11 cdot 4+14 cdot 7+17 cdot 10+cdots+1(3 n-2)(3 n+1)=n3 n+1, forall n in N
Utilize essa informação para concluir que a série sum 1(3 k-2)(3 k+1) é convergente. Calcule o valor desta soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar indução matemática para provar uma identidade envolvendo uma soma de frações. Depois, queremos usar essa identidade para mostrar que a série sum 1(3k-2)(3k+1) é convergente e descobrir qual é o valor dessa soma. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a indução matemática e como analisar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é indução matemática. É um método usado para provar que uma afirmação é verdadeira para todo número natural n. A gente faz isso em dois passos:
  1. Base da indução: Mostrar que a afirmação é verdadeira para n=1.
  2. Passo indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para um certo n=k e, com essa suposição, provar que ela também é verdadeira para n=k+1.

Passo 3

Base da indução ( n=1):
Vamos calcular o lado esquerdo da identidade para n=1:
11 cdot 4 = 14
Agora, o lado direito:
13 cdot 1 + 1 = 14
Então, para n=1, ambos os lados são iguais a 14. A base da indução está confirmada!

Passo 4

Passo indutivo:
Vamos supor que a identidade seja verdadeira para n=k, ou seja:
11 cdot 4+14 cdot 7+cdots+1(3k-2)(3k+1) = k3k+1
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 5

Agora, precisamos provar que a identidade também vale para n=k+1. Vamos considerar:
11 cdot 4+14 cdot 7+cdots+1(3k-2)(3k+1) + 1(3(k+1)-2)(3(k+1)+1)
Simplificando os índices:
= k3k+1 + 1(3k+1)(3k+4)
Agora, vamos somar as frações:
= k(3k+4) + 1(3k+1)(3k+4) = 3k^2 + 4k + 1(3k+1)(3k+4)
Fatorando o numerador:
= (3k+1)(k+1)(3k+1)(3k+4) = k+13k+4
Isso confirma que a identidade vale para n=k+1.

Passo 6

Como mostramos que a identidade é verdadeira para n=1 e que se é válida para n=k então também é para n=k+1, por indução matemática, a identidade:
11 cdot 4+14 cdot 7+17 cdot 10+cdots+1(3n-2)(3n+1) = n3n+1
vale para todo número natural n.

Passo 7

Agora, vamos analisar a convergência da série sum 1(3k-2)(3k+1). Usando a identidade que provamos:
limn to infty n3n+1 = limn to infty n3n = 13
Como o limite existe e é finito, a série é convergente e o valor dessa soma é 13.

Resposta

A série sum 1(3k-2)(3k+1) é convergente e seu valor é 13.

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