Utilize indução matemática para justificar a seguinte identidade:
Utilize essa informação para concluir que a série é convergente. Calcule o valor desta soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar indução matemática para provar uma identidade envolvendo uma soma de frações. Depois, queremos usar essa identidade para mostrar que a série é convergente e descobrir qual é o valor dessa soma. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a indução matemática e como analisar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é indução matemática. É um método usado para provar que uma afirmação é verdadeira para todo número natural . A gente faz isso em dois passos:
  1. Base da indução: Mostrar que a afirmação é verdadeira para .
  2. Passo indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para um certo e, com essa suposição, provar que ela também é verdadeira para .

Passo 3

Base da indução ( ):
Vamos calcular o lado esquerdo da identidade para :
Agora, o lado direito:
Então, para , ambos os lados são iguais a . A base da indução está confirmada!

Passo 4

Passo indutivo:
Vamos supor que a identidade seja verdadeira para , ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 5

Agora, precisamos provar que a identidade também vale para . Vamos considerar:
Simplificando os índices:
Agora, vamos somar as frações:
Fatorando o numerador:
Isso confirma que a identidade vale para .

Passo 6

Como mostramos que a identidade é verdadeira para e que se é válida para então também é para , por indução matemática, a identidade:
vale para todo número natural .

Passo 7

Agora, vamos analisar a convergência da série . Usando a identidade que provamos:
Como o limite existe e é finito, a série é convergente e o valor dessa soma é .

Resposta

A série é convergente e seu valor é .

Exercícios relacionados

é a séries harmônica, i.e.,
Utilize indução matemática para justificar a seguinte desigualdade:
6,5 5,2 7,6 6,2 7,6 6,9 7,1 6,0
7,2 7,7 7,3 6,6 7,1 7,8 7,0 5,5
7,6 6,7 6,8 6,5 7,2 5,8 8,6 6,9
a) Qual a estimativa pontual do número de horas de sono por noite da população de estudantes. Resposta: 6,89
b) Assumindo que a população tem distribuição normal, estime um intervalo de confiança de para o número médio de horas de sono por noite para a população. Resposta:
Use o teste da comparação para verificar a convergência ou divergência das séries:
Use o teste da raiz para determinar se a série dada é convergente ou divergente.