Use o teste da comparação para verificar a convergência ou divergência das séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teste da Comparação para verificar se a série
converge ou diverge. O Teste da Comparação é uma ferramenta que ajuda a gente a comparar a série em questão com outra série que já sabemos se converge ou diverge, facilitando a análise.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão
. Observando o denominador, temos
. Podemos reescrever
como
. Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando
fica muito grande. Com
tendendo ao infinito, o termo
se aproxima de 0, então
tende a
. Portanto, para grandes valores de
, nossa expressão
se aproxima de
.
Passo 4
Isso significa que podemos comparar nossa série com a série
. Sabemos que a série
é uma série p, com
, e ela converge.
Passo 5
Como mostramos que
para todo
, e sabemos que a série de comparação
converge, pelo Teste da Comparação, a série original
também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Comparação.
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é convergente. Calcule o valor desta soma.
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Use o teste da raiz para determinar se a série dada é convergente ou divergente.