Use o teste da comparação para verificar a convergência ou divergência das séries: sumn=2^infty 1n raizn^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teste da Comparação para verificar se a série converge ou diverge. O Teste da Comparação é uma ferramenta que ajuda a gente a comparar a série em questão com outra série que já sabemos se converge ou diverge, facilitando a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão 1n cdot n raiz1 - 1n^2 = 1n^2 raiz1 - 1n^2 . Observando o denominador, temos . Podemos reescrever como . Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando fica muito grande. Com tendendo ao infinito, o termo se aproxima de 0, então tende a . Portanto, para grandes valores de , nossa expressão se aproxima de .

Passo 4

Isso significa que podemos comparar nossa série com a série . Sabemos que a série é uma série p, com , e ela converge.

Passo 5

Como mostramos que para todo , e sabemos que a série de comparação converge, pelo Teste da Comparação, a série original também converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Comparação.

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