Serway - P8.45: Deseja-se construir um solenoide que terá resistência de 5,00 Omega (a 20,0 ^circ C ) e produzirá um campo magnético de 4,00 cdot 10^-2 T no seu centro quando transporta uma corrente de 4,00 A. O solenoide deve ser construído de fio de cobre com diâmetro de 0,500 mm . Se o raio do solenoide for de 1,00 cm, determine (a) o número necessário de voltas do fio .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema quer construir um solenoide com certas características: resistência de 5,00 , Omega a 20,0 , ^circ C, que gera um campo magnético de 4,00 times 10^-2 , T no centro quando passa uma corrente de 4,00 , A. O fio de cobre utilizado tem diâmetro de 0,500 , mm e o raio do solenoide é de 1,00 , cm. A matéria que vamos usar envolve conceitos de eletromagnetismo para solenoides e resistência elétrica. Precisamos calcular o número de voltas do fio necessárias para atingir essas especificações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o campo magnético B dentro de um solenoide. A fórmula é:
B = mu0 times ( NL ) times I
onde:
  • mu0 = 4pi times 10^-7 , T cdot m/A é a permeabilidade do vácuo,
  • N é o número de voltas,
  • L é o comprimento do solenoide,
  • I é a corrente elétrica.
Precisamos encontrar N, mas faltando L. Vamos relacionar isso com a resistência.

Passo 3

A resistência elétrica R de um fio é dada por:
R = rho times ( lA )
onde:
  • rho é a resistividade do material (cobre: 1,68 times 10^-8 , Omega cdot m),
  • l é o comprimento total do fio,
  • A é a área da seção transversal do fio.
Como o fio está enrolado no solenoide, o comprimento total l é:
l = N times 2pi r
onde r = 1,00 , cm = 0,01 , m é o raio do solenoide.

Passo 4

Vamos calcular a área da seção transversal A do fio:
A = pi times ( d2 )^2
com d = 0,500 , mm = 0,0005 , m. Então:
A = pi times ( 0,00052 )^2 = pi times (0,00025)^2 approx 1,9635 times 10^-7 , m^2

Passo 5

Agora, substituindo l e A na fórmula da resistência:
R = rho times ( N times 2pi rA )
Rearranjando para N:
N = R times Arho times 2pi r
Substituindo os valores:
N = 5,00 times 1,9635 times 10^-71,68 times 10^-8 times 2pi times 0,01
N approx 9,8175 times 10^-71,058 times 10^-9 approx 928,5
Arredondando, temos N approx 929 voltas.

Resposta

O número necessário de voltas do fio é aproximadamente 929 voltas.

Exercícios relacionados