Serway - P5.18: É determinado que fios de cobre e alumínio têm a mesma resistência. Qual é a razão entre seus os raios?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde fios de cobre e alumínio têm a mesma resistência elétrica. A pergunta é: qual é a razão entre os raios desses fios? Para resolver isso, a gente precisa usar conceitos de resistência elétrica e como ela se relaciona com o material e as dimensões do fio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da resistência elétrica de um fio:
R = rho LA
Aqui, $ R $ é a resistência, $ \rho $ é a resistividade do material, $ L $ é o comprimento do fio e $ A $ é a área da seção transversal.

Passo 3

Como os fios de cobre e alumínio têm a mesma resistência e estamos assumindo que eles têm o mesmo comprimento, podemos igualar as resistências das duas fórmulas:
rhocobre LAcobre = rhoalumínio LAalumínio íí
Como $ L $ é o mesmo para ambos, podemos simplificar:
L íí

Passo 4

A área da seção transversal de um fio circular é dada por:
A = pi r^2
Então, substituindo na equação anterior:
rhocobrepi rcobre^2 = rhoalumíniopi ralumínio^2 íí
Podemos cancelar o $ \pi $ dos dois lados:
pi íí

Passo 5

Agora, queremos encontrar a razão entre os raios, então vamos rearranjar a equação:
rcobreralumínio = raizrhocobrerhoalumínio íí

Resposta

A razão entre os raios dos fios de cobre e alumínio é igual à raiz quadrada da razão entre as resistividades do cobre e do alumínio:
rcobreralumínio = raizrhocobrerhoalumínio íí

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