Show that if a rigid body C moves in relation to a reference frame R, then there exists a linear transformation ^R T^C that maps a vector v, fixed in the body, into its time derivative in R. That is, for every vector v fixed in C, its time rate in R, dotv, can be written as
dotv= ^R T^C v
Hint: Adopt an orthonormal basis c1, c2, c3, fixed in C, in order to decompose the angular velocity vector of the body as
^R omega^C=omega1 c1+omega2 c2+omega3 c3,
and define a tensor T that, on the same basis, is expressed by the antisymmetric matrix
T=(ccc 0 & -omega3 & omega2 omega3 & 0 & -omega1 -omega2 & omega1 & 0 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se um corpo rígido dotv = ^R T^C v se move em relação a um referencial , existe uma transformação linear que transforma um vetor , fixo no corpo, na sua derivada temporal no referencial . Basicamente, queremos provar que:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática de corpos rígidos, especialmente a relação entre velocidade angular e a variação de vetores fixos no corpo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como um vetor fixo no corpo dotv = omega times v se comporta quando o corpo está girando. Quando o corpo está girando com uma velocidade angular , a derivada temporal de um vetor fixo no referencial é dada pelo produto vetorial da velocidade angular com o próprio vetor:
Isso significa que a taxa de variação de no referencial depende da velocidade angular do corpo.

Passo 3

Agora, para expressar esse produto vetorial de forma matricial, podemos representar a velocidade angular ^R omega^C = omega1 c1 + omega2 c2 + omega3 c3 como um vetor com componentes T = 0 & -omega3 & omega2 omega3 & 0 & -omega1 -omega2 & omega1 & 0 em uma base ortonormal fixa no corpo , ou seja:
Com isso, podemos construir uma matriz antissimétrica usando os componentes de :

Passo 4

Essa matriz T v = omega times v tem a propriedade especial de transformar o vetor através de uma multiplicação matricial, resultando exatamente no produto vetorial :
Portanto, podemos identificar como a transformação linear que o exercício menciona.

Resposta

Assim, demonstramos que existe uma transformação linear dotv = ^R T^C v definida pela matriz antissimétrica que satisfaz:
Portanto, provamos que a derivada temporal do vetor fixo no referencial pode ser expressa como uma transformação linear aplicada a .

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