Show that if a rigid body moves in relation to a reference frame , then there exists a linear transformation that maps a vector , fixed in the body, into its time derivative in . That is, for every vector fixed in , its time rate in , , can be written as
Hint: Adopt an orthonormal basis , fixed in , in order to decompose the angular velocity vector of the body as
and define a tensor T that, on the same basis, is expressed by the antisymmetric matrix
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se um corpo rígido se move em relação a um referencial , existe uma transformação linear que transforma um vetor , fixo no corpo, na sua derivada temporal no referencial . Basicamente, queremos provar que:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática de corpos rígidos, especialmente a relação entre velocidade angular e a variação de vetores fixos no corpo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como um vetor fixo no corpo se comporta quando o corpo está girando. Quando o corpo está girando com uma velocidade angular , a derivada temporal de um vetor fixo no referencial é dada pelo produto vetorial da velocidade angular com o próprio vetor:
Isso significa que a taxa de variação de no referencial depende da velocidade angular do corpo.
Passo 3
Agora, para expressar esse produto vetorial de forma matricial, podemos representar a velocidade angular como um vetor com componentes em uma base ortonormal fixa no corpo , ou seja:
Com isso, podemos construir uma matriz antissimétrica usando os componentes de :
Passo 4
Essa matriz tem a propriedade especial de transformar o vetor através de uma multiplicação matricial, resultando exatamente no produto vetorial :
Portanto, podemos identificar como a transformação linear que o exercício menciona.
Resposta
Assim, demonstramos que existe uma transformação linear definida pela matriz antissimétrica que satisfaz:
Portanto, provamos que a derivada temporal do vetor fixo no referencial pode ser expressa como uma transformação linear aplicada a .