Seja tal que .
(a) Determine os autovalores de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os autovalores da transformação linear definida por . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar montar a matriz dessa transformação e calcular seus autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação como uma matriz. Se , então a matriz associada a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica da matriz , que é dada por:
Aqui, representa o autovalor e é a matriz identidade de ordem 2:

Passo 4

Subtraímos da matriz :

Passo 5

Calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 7

Calculando as soluções:

Resposta

Os autovalores de são e .

Exercícios relacionados

Como determinar se um operador linear é diagonalizável?
O que significa dizer que um vetor é um autovetor de um operador linear ?
Integrar, analiticamente, o polinômio obtido no item (a) no intervalo de .
O valor de pode ser obtido pela resolução das equações e . Utilize o método da bisseç̧ão (com uma precisão adequada) para aproximar os valores de com relação a solução de cada equação. Caso não seja possível, justifique a falha do método com argumentos do cálculo.