Seja
tal que
.
(a) Determine os autovalores de
.
(a) Determine os autovalores de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os autovalores da transformação linear
definida por
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar montar a matriz dessa transformação e calcular seus autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação
como uma matriz. Se
, então a matriz associada a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica da matriz
, que é dada por:
Aqui,
representa o autovalor e
é a matriz identidade de ordem 2:
Passo 4
Subtraímos
da matriz
:
Passo 5
Calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 7
Calculando as soluções:
Resposta
Os autovalores de
são
e
.
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é um autovetor de um operador linear
?
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.
O valor de
pode ser obtido pela resolução das equações
e
. Utilize o método da bisseç̧ão (com uma precisão adequada) para aproximar os valores de
com relação a solução de cada equação. Caso não seja possível, justifique a falha do método com argumentos do cálculo.