Seja T: R^2 R^2 tal que T(x, y)=(2 x+3 y, 2 x+y).
(a) Determine os autovalores de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os autovalores da transformação linear definida por . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar montar a matriz dessa transformação e calcular seus autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação A = 2 & 3 2 & 1 como uma matriz. Se , então a matriz associada a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica da matriz det(A - lambda I) = 0 , que é dada por:
I = 1 & 0 0 & 1
Aqui, representa o autovalor e é a matriz identidade de ordem 2:

Passo 4

Subtraímos A - lambda I = 2 - lambda & 3 2 & 1 - lambda da matriz :

Passo 5

Calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(1 - lambda) - (2)(3)
Simplificando:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(1 - lambda) - 6
= (2 cdot 1) - 2lambda - lambda cdot 1 + lambda^2 - 6
= 2 - 2lambda - lambda + lambda^2 - 6
= lambda^2 - 3lambda - 4

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática:
lambda^2 - 3lambda - 4 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm raiz252 = 3 pm 52

Passo 7

Calculando as soluções:
lambda1 = 3 + 52 = 82 = 4
lambda2 = 3 - 52 = -22 = -1

Resposta

Os autovalores de são e .

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