Mostre que essa é uma relação de ordem em .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma relação definida por se e somente se divide . A matéria que vamos usar aqui é teoria das relações de ordem, especificamente ordem parcial. Para mostrar que essa relação é uma ordem, precisamos verificar três propriedades: reflexividade, antisimetricidade e transitividade.

Passo 2

Reflexividade: Precisamos mostrar que qualquer número divide a si mesmo, ou seja, .
Explicação: Na matemática, todo número divide a si próprio porque qualquer número dividido por ele mesmo resulta em 1, que é um número inteiro. Assim, divide .
Formalmente:

Passo 3

Antisimetricidade: Devemos mostrar que se divide e divide , então e são iguais.
Explicação: Se divide , então existe um inteiro tal que . E se divide , existe um inteiro tal que . Substituindo, temos:
Para isso ser verdadeiro, deve ser igual a 1. Como e são inteiros, isso só acontece se ambos forem 1 ou -1. Porém, geralmente consideramos como os números positivos, então .

Passo 4

Transitividade: Precisamos mostrar que se divide e divide , então divide .
Explicação: Se divide , existe um inteiro tal que . Se divide , existe um inteiro tal que . Substituindo na segunda equação:
Isso mostra que divide .

Resposta

Como a relação definida por divide satisfaz as propriedades de reflexividade, antisimetricidade e transitividade, podemos concluir que ela é uma relação de ordem em .

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Esboçe o gráfico das funções abaixo: