Mostre que essa é uma relação de ordem em
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma relação definida por
se e somente se
divide
. A matéria que vamos usar aqui é teoria das relações de ordem, especificamente ordem parcial. Para mostrar que essa relação é uma ordem, precisamos verificar três propriedades: reflexividade, antisimetricidade e transitividade.
Passo 2
Reflexividade: Precisamos mostrar que qualquer número
divide a si mesmo, ou seja,
.
Explicação: Na matemática, todo número divide a si próprio porque qualquer número dividido por ele mesmo resulta em 1, que é um número inteiro. Assim,
divide
.
Formalmente:
Passo 3
Antisimetricidade: Devemos mostrar que se
divide
e
divide
, então
e
são iguais.
Explicação: Se
divide
, então existe um inteiro
tal que
. E se
divide
, existe um inteiro
tal que
. Substituindo, temos:
Para isso ser verdadeiro,
deve ser igual a 1. Como
e
são inteiros, isso só acontece se ambos forem 1 ou -1. Porém, geralmente consideramos
como os números positivos, então
.
Passo 4
Transitividade: Precisamos mostrar que se
divide
e
divide
, então
divide
.
Explicação: Se
divide
, existe um inteiro
tal que
. Se
divide
, existe um inteiro
tal que
. Substituindo
na segunda equação:
Isso mostra que
divide
.
Resposta
Como a relação
definida por
divide
satisfaz as propriedades de reflexividade, antisimetricidade e transitividade, podemos concluir que ela é uma relação de ordem em
.
Exercícios relacionados
Usando técnicas ou fórmulas de fatoração adequadas, simplique as expressões até que a expressão seja representada em formato não-fracionário.
Sejam
e
; Determine os pares de elementos de
que não são comparáveis.
Calcule a função inversa
de cada função abaixo:
Esboçe o gráfico das funções abaixo: