(a) Mostre que essa é uma relação de ordem em
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma relação definida por
se e somente se
é menor ou igual a
, ou seja,
. O objetivo aqui é mostrar que essa relação é uma relação de ordem no conjunto
. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de reflexividade, antisimetria e transitividade, que são as propriedades que definem uma relação de ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre reflexividade. Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. No nosso caso, precisamos verificar se
para todo
em
.
Passo 3
A propriedade
é verdadeira porque qualquer número é sempre menor ou igual a ele mesmo. Isso mostra que a relação é reflexiva.
Passo 4
Agora, vamos para a antisimetria. Uma relação é antissimétrica se, sempre que
e
, então
. Ou seja, se dois elementos se relacionam mutuamente, eles devem ser iguais.
Passo 5
Considerando
e
, isso implica que
. Pois, se um número é menor ou igual ao outro e vice-versa, a única possibilidade é que sejam iguais. Assim, a relação é antissimétrica.
Passo 6
Por último, temos a transitividade. Uma relação é transitiva se, sempre que
e
, então
.
Passo 7
Se
e
, então claramente
. Isso segue diretamente das propriedades dos números reais. Portanto, a relação é transitiva.
Resposta
Como a relação
definida por
é reflexiva, antissimétrica e transitiva, podemos concluir que ela é, de fato, uma relação de ordem no conjunto
.