a ~ b <=> a é menor ou igual a bé
(a) Mostre que essa é uma relação de ordem em A;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma relação definida por se e somente se é menor ou igual a , ou seja, . O objetivo aqui é mostrar que essa relação é uma relação de ordem no conjunto . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de reflexividade, antisimetria e transitividade, que são as propriedades que definem uma relação de ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre reflexividade. Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. No nosso caso, precisamos verificar se para todo em .

Passo 3

A propriedade é verdadeira porque qualquer número é sempre menor ou igual a ele mesmo. Isso mostra que a relação é reflexiva.

Passo 4

Agora, vamos para a antisimetria. Uma relação é antissimétrica se, sempre que e , então . Ou seja, se dois elementos se relacionam mutuamente, eles devem ser iguais.

Passo 5

Considerando e , isso implica que . Pois, se um número é menor ou igual ao outro e vice-versa, a única possibilidade é que sejam iguais. Assim, a relação é antissimétrica.

Passo 6

Por último, temos a transitividade. Uma relação é transitiva se, sempre que e , então .

Passo 7

Se e , então claramente . Isso segue diretamente das propriedades dos números reais. Portanto, a relação é transitiva.

Resposta

Como a relação definida por é reflexiva, antissimétrica e transitiva, podemos concluir que ela é, de fato, uma relação de ordem no conjunto .

Exercícios relacionados