Simplificar as ex/ressács:
cos pi65 cdot Cos 2 pi65 cdot cos 4 pi65 cdot cos 8 pi65 cdot cos 16 pi65 cdot cos 32 pi65

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para simplificar o produto de várias funções cosseno com ângulos que são múltiplos de pi65. A matéria que vamos usar aqui é trigonometria, especificamente uma fórmula que relaciona o produto de cossenos com uma função seno. Para resolver isso, vamos precisar lembrar dessa fórmula e aplicar de forma passo a passo.

Passo 2

Primeiro, observamos o produto que temos:
cos pi65 cdot cos 2pi65 cdot cos 4pi65 cdot cos 8pi65 cdot cos 16pi65 cdot cos 32pi65
Perceba que os ângulos são potências de 2 multiplicadas por pi65. Isso sugere que podemos usar uma fórmula de produto de cossenos que facilita a simplificação.

Passo 3

A fórmula que vamos usar é:
prodk=0^n-1 cos (2^k x) = sin(2^n x)2^n sin x
Essa fórmula transforma o produto de cossenos em uma fração envolvendo a função seno, o que geralmente é mais fácil de simplificar.

Passo 4

No nosso caso, temos 6 termos no produto, então n = 6, e x = pi65. Aplicando a fórmula:
prodk=0^5 cos (2^k cdot pi65) = sin(2^6 cdot pi65)2^6 sin (pi65)
Isso fica:
sin(64pi65)64 sin (pi65)

Passo 5

Agora, vamos simplificar sin(64pi65). Sabemos que:
sin(pi - theta) = sin theta
Aplicando isso:
sin(64pi65) = sin(pi - pi65) = sin(pi65)

Passo 6

Substituindo de volta na expressão, temos:
sin(pi65)64 sin (pi65) = 164
As funções seno se cancelam, restando apenas 164.

Resposta

O valor simplificado do produto é 164.

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