Um sinal aleatório m(t), com autocorrelação RM(tau)=11+tau^2, é aplicado à entrada de um modulador SSB. Calcule a autocorrelação do sinal modulado s(t). Calcule a densidade espectral de potência de s(t) a partir da autocorrelação. Faça os gráficos da autocorrelação e da DEP.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado tá falando sobre um sinal aleatório $ m(t) $ que tem uma autocorrelação de $ R_{M}(\tau) = \frac{1}{1+\tau^{2}} $. Esse sinal é aplicado na entrada de um modulador SSB (Single Side Band), que é um tipo de modulação usada em comunicação para transmitir sinais de forma eficiente. Precisamos calcular a autocorrelação do sinal modulado $ s(t) $ e a densidade espectral de potência (DEP) desse sinal a partir da autocorrelação. Além disso, vamos fazer os gráficos dessas funções. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de autocorrelação, modulação SSB e transformada de Fourier para obter a DEP.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é autocorrelação. A autocorrelação de um sinal nos mostra como o sinal se correlaciona consigo mesmo ao longo do tempo. Para $ m(t) $, a autocorrelação é dada por $ R_{M}(\tau) = \frac{1}{1+\tau^{2}} $.

Passo 3

Agora, vamos entender como a modulação SSB funciona. No SSB, a informação do sinal $ m(t) $ é usada para modificar uma portadora de frequência $ f_c $, mas apenas uma das bandas laterais (superior ou inferior) é transmitida, economizando banda de frequência.

Passo 4

Vamos assumir que estamos usando uma modulação SSB com a banda lateral superior. O sinal modulado $ s(t) $ pode ser representado como:
s(t)
Aqui, $ \hat{m}(t) $ é a transformada de Hilbert de $ m(t) $, que é uma versão do sinal deslocada de 90 graus no tempo.

Passo 5

Para encontrar a autocorrelação de $ s(t) $, usamos a propriedade de que a autocorrelação de sinais modulados por uma portadora pode ser relacionada à autocorrelação do sinal original. Após algumas derivadas matemáticas (que envolvem propriedades de sinais senoidais e da transformada de Hilbert), chegamos à seguinte expressão para a autocorrelação de $ s(t) $:
s(t)
Substituindo $ R_{M}(\tau) $, temos:
s(t)

Passo 6

Agora, para encontrar a densidade espectral de potência (DEP) $ S_{S}(f) $ do sinal modulado $ s(t) $, usamos a transformada de Fourier da autocorrelação $ R_{S}(\tau) $. A DEP é dada por:
SS(f)
Sabemos que a transformada de Fourier de $ \frac{1}{1+\tau^{2}} $ é $ \pi e^{-2\pi |f|} $. E a multiplicação por $ \cos(2\pi f_c \tau) $ no domínio do tempo corresponde a um deslocamento de frequência. Portanto, a DEP ficará centrada em $ \pm f_c $.

Passo 7

Após realizar a transformação, a DEP do sinal modulado $ s(t) $ fica:
s(t)
Isso mostra que a potência está concentrada nas frequências $ f_c $ e $ -f_c $, que são as frequências das bandas laterais superiores e inferiores.

Resposta

A autocorrelação do sinal modulado $ s(t) $ é:
s(t)
E a densidade espectral de potência (DEP) de $ s(t) $ é:
RS(tau) = 12 cdot 11+tau^2 cdot cos(2pi fc tau)

Exercícios relacionados