Um sistema apresenta movimento harmônico de 15 ciclos/s e a sua velocidade máxima é de 5 m / s. Determine o a amplitude do movimento X, o período de oscilação T e a máxima aceleração ddotxmax desse sistema. Considere x(t)=X cdot sen(omega t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento harmônico! A gente tem um sistema que faz 15 ciclos por segundo e a velocidade máxima é de 5 m/s. Precisamos encontrar três coisas: a amplitude , o período de oscilação e a máxima aceleração . Para isso, vamos usar algumas fórmulas do movimento harmônico simples, que envolvem frequência, amplitude e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a frequência T = 1f é a quantidade de ciclos por segundo. Aqui, . A relação entre a frequência e o período é dada por:
Então, vamos calcular o período.

Passo 3

Calculando o período T = 115 approx 0,0667 , segundos :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a amplitude vmax = X cdot omega . Sabemos que a velocidade máxima omega = 2pi f é relacionada com a amplitude e a frequência pela fórmula:
Onde é a frequência angular, dada por:
Vamos calcular .

Passo 5

Calculando a frequência angular omega = 2pi times 15 = 30pi , rad/s :

Passo 6

Agora, usando a fórmula da velocidade máxima para encontrar 5 = X cdot 30pi :
X = 530pi = 16pi approx 0,0531 , metros
Resolvendo para :

Passo 7

Por último, vamos calcular a máxima aceleração ddotxmax = X cdot omega^2 . A máxima aceleração no movimento harmônico é dada por:
Vamos substituir os valores que já temos.

Passo 8

Calculando a máxima aceleração ddotxmax = 16pi times (30pi)^2 = 16pi times 900pi^2 = 150pi approx 471,24 , m/s^2 :

Resposta

A amplitude do movimento é aproximadamente , o período de oscilação é e a máxima aceleração é aproximadamente .

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