O sistema é composto por uma barra de comprimento
e massa
. Na extremidade superior tem um corpo de massa
. O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 12 Hz e que a constante de amortecimento é
e aplicando as condições iniciais:
e
, encontre:
O valor da amplitude máxima após 5 ciclos de vibração.
O valor da amplitude máxima após 5 ciclos de vibração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema que pode girar em torno de um ponto fixo, com uma barra de 0,9 metros de comprimento e 1 kg de massa, além de um corpo de 1 kg na extremidade superior. Esse sistema pode oscilar, e queremos descobrir qual é a amplitude máxima após 5 ciclos de vibração considerando que há um amortecimento envolvido. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de oscilações amortecidas, como frequência natural, constante de amortecimento e a equação da amplitude em função do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a frequência natural do sistema, que é dada como
. A frequência angular natural
está relacionada à frequência em Hertz pela fórmula:
Substituindo:
Passo 3
Agora, vamos considerar o amortecimento. A constante de amortecimento
. Para sistemas oscilatórios amortecidos, temos o coeficiente de amortecimento
que é calculado por:
Onde
é a massa efetiva do sistema. Aqui, temos duas massas de 1 kg cada, então:
Portanto,
Passo 4
Com
e
em mãos, podemos determinar o tipo de amortecimento. A relação entre
e
indica se o sistema está subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido. Aqui:
Como
, o sistema está subamortecido, o que significa que ele oscila com uma amplitude que diminui exponencialmente ao longo do tempo.
Passo 5
A amplitude de um sistema subamortecido em função do tempo é dada por:
Onde:
-
é a amplitude inicial, -
é o coeficiente de amortecimento, -
é a frequência angular amortecida, -
é a fase inicial.
Primeiro, vamos calcular
:
Passo 6
Vamos determinar o tempo após 5 ciclos. A frequência é
, então o período
é:
Após 5 ciclos, o tempo
é:
Passo 7
Agora, aplicamos o tempo na equação da amplitude:
As condições iniciais dizem que
e
, então a amplitude inicial
. Então:
Resposta
A amplitude máxima após 5 ciclos de vibração é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
O sistema é composto por uma barra horizontal de massa
; uma barra vertical de massa
e um corpo rígido de massa
. O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que
e
, encontre:
Considerando e
, encontre
(amortecimento do item a)
Considerando
O sistema é composto por uma barra horizontal de massa
; uma barra vertical de massa
e um corpo rígido de massa
. O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que
e
, encontre:
A força em uma das molas para .(amortecimento do item a)
A força em uma das molas para
O sistema é composto por uma barra de comprimento
e massa
. Na extremidade superior tem um corpo de massa
. O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 12 Hz e que a constante de amortecimento é
e aplicando as condições iniciais:
e
, encontre:
A equação do movimento do sistema .
A equação do movimento do sistema
O sistema é composto por uma barra horizontal de massa
; uma barra vertical de massa
e um corpo rígido de massa
. O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que
e
, encontre:
A constante de amortecimento critico .
A constante de amortecimento critico