O sistema é composto por uma barra de comprimento L=0.9 , m e massa m=1 , kg. Na extremidade superior tem um corpo de massa mc=1 , kg. O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 12 Hz e que a constante de amortecimento é c=30 , Ns / m e aplicando as condições iniciais: theta0=0.1 , rad e omega0=0 , rad / s, encontre:
O valor da amplitude máxima após 5 ciclos de vibração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema que pode girar em torno de um ponto fixo, com uma barra de 0,9 metros de comprimento e 1 kg de massa, além de um corpo de 1 kg na extremidade superior. Esse sistema pode oscilar, e queremos descobrir qual é a amplitude máxima após 5 ciclos de vibração considerando que há um amortecimento envolvido. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de oscilações amortecidas, como frequência natural, constante de amortecimento e a equação da amplitude em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a frequência natural do sistema, que é dada como omegan = 2pi fn . A frequência angular natural omegan = 2pi times 12 = 24pi , rad/s está relacionada à frequência em Hertz pela fórmula:
Substituindo:

Passo 3

Agora, vamos considerar o amortecimento. A constante de amortecimento beta = c2m . Para sistemas oscilatórios amortecidos, temos o coeficiente de amortecimento m = 1 , kg + 1 , kg = 2 , kg que é calculado por:
beta = 302 times 2 = 304 = 7,5 , rad/s
Onde é a massa efetiva do sistema. Aqui, temos duas massas de 1 kg cada, então:
Portanto,

Passo 4

Com beta = 7,5 , rad/s < omegan = 24pi , rad/s approx 75,4 , rad/s e em mãos, podemos determinar o tipo de amortecimento. A relação entre e indica se o sistema está subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido. Aqui:
Como , o sistema está subamortecido, o que significa que ele oscila com uma amplitude que diminui exponencialmente ao longo do tempo.

Passo 5

A amplitude de um sistema subamortecido em função do tempo é dada por:
A(t) = A0 e^-beta t cos(omegad t + phi)
Onde:
  • omegad = raizomegan^2 - beta^2 = raiz(24pi)^2 - (7,5)^2 é a amplitude inicial,
  • omegad approx raiz(576pi^2) - 56,25 approx raiz576 times 9,8696 - 56,25 approx raiz5691 - 56,25 approx raiz5634,75 approx 75,05 , rad/s é o coeficiente de amortecimento,
  • é a frequência angular amortecida,
  • é a fase inicial.
Primeiro, vamos calcular :

Passo 6

Vamos determinar o tempo após 5 ciclos. A frequência é T = 1fn = 112 , s approx 0,0833 , s , então o período t = 5T = 5 times 0,0833 approx 0,4167 , s é:
Após 5 ciclos, o tempo é:

Passo 7

Agora, aplicamos o tempo na equação da amplitude:
A(t) = A0 e^-beta t
As condições iniciais dizem que A(0,4167) = 0,1 , e^-7,5 times 0,4167 e A(0,4167) = 0,1 , e^-3,125 approx 0,1 times 0,0439 approx 0,00439 , rad , então a amplitude inicial . Então:

Resposta

A amplitude máxima após 5 ciclos de vibração é aproximadamente .

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