O sistema é composto por uma barra de comprimento e massa . Na extremidade superior tem um corpo de massa . O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 12 Hz e que a constante de amortecimento é e aplicando as condições iniciais: e , encontre:
O valor da amplitude máxima após 5 ciclos de vibração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema que pode girar em torno de um ponto fixo, com uma barra de 0,9 metros de comprimento e 1 kg de massa, além de um corpo de 1 kg na extremidade superior. Esse sistema pode oscilar, e queremos descobrir qual é a amplitude máxima após 5 ciclos de vibração considerando que há um amortecimento envolvido. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de oscilações amortecidas, como frequência natural, constante de amortecimento e a equação da amplitude em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a frequência natural do sistema, que é dada como . A frequência angular natural está relacionada à frequência em Hertz pela fórmula:
Substituindo:

Passo 3

Agora, vamos considerar o amortecimento. A constante de amortecimento . Para sistemas oscilatórios amortecidos, temos o coeficiente de amortecimento que é calculado por:
Onde é a massa efetiva do sistema. Aqui, temos duas massas de 1 kg cada, então:
Portanto,

Passo 4

Com e em mãos, podemos determinar o tipo de amortecimento. A relação entre e indica se o sistema está subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido. Aqui:
Como , o sistema está subamortecido, o que significa que ele oscila com uma amplitude que diminui exponencialmente ao longo do tempo.

Passo 5

A amplitude de um sistema subamortecido em função do tempo é dada por:
Onde:
  • é a amplitude inicial,
  • é o coeficiente de amortecimento,
  • é a frequência angular amortecida,
  • é a fase inicial.
Primeiro, vamos calcular :

Passo 6

Vamos determinar o tempo após 5 ciclos. A frequência é , então o período é:
Após 5 ciclos, o tempo é:

Passo 7

Agora, aplicamos o tempo na equação da amplitude:
As condições iniciais dizem que e , então a amplitude inicial . Então:

Resposta

A amplitude máxima após 5 ciclos de vibração é aproximadamente .

Exercícios relacionados

O sistema é composto por uma barra horizontal de massa ; uma barra vertical de massa e um corpo rígido de massa . O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que e , encontre:
Considerando e , encontre (amortecimento do item a)
O sistema é composto por uma barra horizontal de massa ; uma barra vertical de massa e um corpo rígido de massa . O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que e , encontre:
A força em uma das molas para .(amortecimento do item a)
O sistema é composto por uma barra de comprimento e massa . Na extremidade superior tem um corpo de massa . O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 12 Hz e que a constante de amortecimento é e aplicando as condições iniciais: e , encontre:
A equação do movimento do sistema .
O sistema é composto por uma barra horizontal de massa ; uma barra vertical de massa e um corpo rígido de massa . O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que a frequência natural do sistema é 15 Hz e que e , encontre:
A constante de amortecimento critico .