Em um sistema de coordenadas esféricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema esférico, o seguinte:
(d) A equação do plano que passa por e é otorgonal a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de geometria no sistema de coordenadas esféricas. A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e que é perpendicular ao vetor . Para isso, vamos usar as definições básicas do sistema esférico e os conceitos de álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no sistema de coordenadas esféricas, qualquer ponto é definido por três coordenadas: a distância radial , o ângulo polar (que é o ângulo em relação ao eixo z) e o ângulo azimutal (que é o ângulo no plano xy a partir do eixo x).

Passo 3

O vetor representa o vetor posição do ponto . Quando um plano é perpendicular a esse vetor, significa que o vetor normal ao plano é mesmo. A equação geral de um plano é dada por:
onde é o vetor normal ao plano, é o vetor posição qualquer no plano, e é o vetor posição de um ponto conhecido no plano, que nesse caso é .

Passo 4

No nosso caso, . Vamos expressar em termos de coordenadas esféricas convertidas para cartesianas, já que a equação do plano geralmente é expressa em coordenadas cartesianas:
Então, para :

Passo 5

Agora, substituindo e na equação do plano:
Calculando o produto escalar:

Passo 6

Simplificando, trazemos tudo para um lado da equação:
Essa é a equação do plano em coordenadas cartesianas que passa por e é perpendicular a .

Resposta

A equação do plano é:

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© A equação de uma superfície cilíndrica circular reta de raio cujo eixo de simetria é a reta passando por ortogonalmente ao plano equatorial .