No sistema cúbico, qual das seguintes direções corta a diagonal do cubo: <110>,<111> ou <100> ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é: No sistema cúbico, qual das seguintes direções corta a diagonal do cubo: <110>, <111> ou <100>? Para resolver isso, vamos precisar entender como as direções são representadas no sistema cúbico e como identificar qual delas corresponde à diagonal do cubo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada direção representa. No sistema cúbico, as direções são dadas pelos índices , onde h, k, e l são números inteiros que indicam a proporção das coordenadas nos eixos x, y e z, respectivamente.
  • <100>: Isso significa que a direção está totalmente ao longo do eixo x (ou y ou z, dependendo da notação), sem componentes nos outros eixos. É como se estivéssemos indo diretamente de um canto do cubo para o centro de uma das faces.
  • <110>: Aqui, a direção tem componentes iguais nos eixos x e y, mas não no z. Isso corresponde à diagonal de uma das faces do cubo.
  • <111>: Neste caso, a direção tem componentes iguais nos três eixos x, y e z. Isso significa que estamos indo de um vértice do cubo para o vértice oposto, passando pelo interior do cubo.

Passo 3

Agora, vamos identificar qual dessas direções corresponde à diagonal do cubo. A diagonal do cubo é a linha que vai de um vértice do cubo até o vértice oposto, atravessando o interior do cubo.
  • <100> corta apenas uma das arestas do cubo, não a diagonal completa.
  • <110> corta a diagonal de uma face do cubo, mas não a diagonal que atravessa todo o cubo.
  • <111> vai de um vértice até o vértice oposto passando pelo centro do cubo, ou seja, é a diagonal completa do cubo.

Passo 4

Para confirmar, podemos calcular o comprimento da direção <111> e ver que ela realmente corresponde à diagonal do cubo. Em um cubo de aresta a, a diagonal do cubo pode ser calculada usando o Teorema de Pitágoras no espaço tridimensional:
Diagonal = raiza^2 + a^2 + a^2 = raiz3a^2 = araiz3
Isso confirma que <111> representa uma direção que atravessa a diagonal completa do cubo.

Resposta

A direção que corta a diagonal do cubo no sistema cúbico é <111>.

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