Para o sistema forçado por p(t)=P0 cos (omega t), encontre a amplitude da oscilação da massa M.

Passo 1

Beleza, amigo! Então, temos um sistema sendo forçado por uma força , e precisamos encontrar a amplitude da oscilação da massa . Isso está relacionado ao estudo de oscilações forçadas na física, onde uma força externa periódica está agindo sobre um sistema massa-mola. Para resolver isso, vamos usar a equação do movimento para sistemas oscilatórios forçados e entender como calcular a amplitude resultante dessa força.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação que descreve o movimento de um sistema massa-mola sem atrito quando submetido a uma força externa periódica. A equação diferencial é:
M d^2xdt^2 + k x = P0 cos(omega t)
Aqui:
  • é a massa do objeto.
  • é a constante elástica da mola.
  • é o deslocamento da massa.
  • é a força externa aplicada.

Passo 3

Queremos encontrar a amplitude da oscilação em regime permanente, ou seja, após as oscilações iniciais terem se estabilizado. Nesse caso, a solução geral da equação pode ser assumida como:
x(t) = X cos(omega t - phi)
Onde:
  • �� a amplitude que queremos encontrar.
  • é a fase da oscilação.

Passo 4

Vamos substituir d^2xdt^2 = -X omega^2 cos(omega t - phi) na equação do movimento. Primeiro, calculamos a segunda derivada de M (-X omega^2 cos(omega t - phi)) + k X cos(omega t - phi) = P0 cos(omega t) :
Substituindo na equação diferencial:

Passo 5

Fatorando (-M omega^2 + k) X cos(omega t - phi) = P0 cos(omega t) :
(-M omega^2 + k) X = P0
Para que as duas partes da equação sejam iguais para todo , os coeficientes dos termos devem ser iguais e as fases devem coincidir. Isso implica que e:

Passo 6

Agora, resolvemos para X = P0k - M omega^2 :
Essa é a amplitude da oscilação da massa em função da força aplicada , da constante elástica , da massa e da frequência da força externa.

Resposta

A amplitude da oscilação da massa X = P0k - M omega^2 é:

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