Um sistema é formado por três partículas de mesma massa, inicialmente em repouso e posicionadas, respectivamente, em ( 0,0 ), (-1,2), (1,-2). Essas três partículas estão ligadas por um fio rígido (massa desprezível). No instante
, uma força
(
) é aplicada sobre
.
Discuta sobre a aceleração da massa
e do centro de massa do sistema - é esperado que as acelerações
e
sejam iguais? Por quê? Embase sua resposta matematicamente.
Discuta sobre a aceleração da massa
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos um sistema com três partículas de mesma massa, todas paradas no início, posicionadas nos pontos (0,0), (-1,2) e (1,-2). Essas partículas estão conectadas por fios rígidos e sem massa. No instante inicial, uma força
N é aplicada na partícula
.
O conteúdo que vamos precisar envolve leis de Newton, especialmente a segunda lei, e o conceito de centro de massa. Vamos usar essas ferramentas para descobrir como a partícula
acelera e como o centro de massa do sistema se comporta. Vamos precisar lembrar que a aceleração do centro de massa depende das forças externas atuando no sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partículas e suas posições:
-
: (0,0) -
: (-1,2) -
: (1,-2)
Todas as partículas têm a mesma massa, vamos chamar de
.
Passo 3
Vamos calcular o centro de massa do sistema. A posição do centro de massa (
) é dada por:
Como todas as massas são iguais (
), e
, temos:
Então, inicialmente, o centro de massa está em (0,0).
Passo 4
Agora, vamos ver qual a força externa agindo no sistema. A única força externa aplicada é
N, que atua sobre
.
Segundo a segunda lei de Newton para o centro de massa:
Onde
é a massa total do sistema e
é a aceleração do centro de massa.
Passo 5
Vamos calcular a aceleração do centro de massa (
):
Então, a aceleração do centro de massa é
na direção
.
Passo 6
Agora, vamos analisar a aceleração da partícula
. A força aplicada diretamente em
é
N. Além disso, há as tensões dos fios que ligam
às outras partículas, mas como os fios são rígidos e sem massa, essas tensões servem apenas para manter a configuração do sistema.
A aceleração de
(
) pode ser encontrada pela segunda lei de Newton:
No entanto, devido à rigidez dos fios, as forças internas (tensões) não afetam a aceleração do centro de massa. Assim, a aceleração de
em relação ao centro de massa será a mesma que a aceleração do centro de massa do sistema.
Passo 7
Portanto, concluímos que a aceleração da partícula
é igual à aceleração do centro de massa (
) do sistema. Matemáticamente, temos:
Resposta
As acelerações de
e do centro de massa do sistema são iguais, ambas iguais a
m/s². Isso ocorre porque a força externa aplicada resulta na aceleração do centro de massa, e, devido à rigidez das conexões, a partícula
acelera da mesma forma que o centro de massa.