Um sistema é formado por três partículas de mesma massa, inicialmente em repouso e posicionadas, respectivamente, em ( 0,0 ), (-1,2), (1,-2). Essas três partículas estão ligadas por um fio rígido (massa desprezível). No instante t=0 s, uma força F=2 imath ( N ) é aplicada sobre m1.
Discuta sobre a aceleração da massa m1 e do centro de massa do sistema - é esperado que as acelerações am1 e aC M sejam iguais? Por quê? Embase sua resposta matematicamente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos um sistema com três partículas de mesma massa, todas paradas no início, posicionadas nos pontos (0,0), (-1,2) e (1,-2). Essas partículas estão conectadas por fios rígidos e sem massa. No instante inicial, uma força N é aplicada na partícula .
O conteúdo que vamos precisar envolve leis de Newton, especialmente a segunda lei, e o conceito de centro de massa. Vamos usar essas ferramentas para descobrir como a partícula acelera e como o centro de massa do sistema se comporta. Vamos precisar lembrar que a aceleração do centro de massa depende das forças externas atuando no sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partículas e suas posições:
  • : (0,0)
  • : (-1,2)
  • : (1,-2)
Todas as partículas têm a mesma massa, vamos chamar de .

Passo 3

Vamos calcular o centro de massa do sistema. A posição do centro de massa ( RCM = 1M sumi=1^3 mi ri ) é dada por:
RCM = m (0,0) + m (-1,2) + m (1,-2)3m = (0,0) + (-1,2) + (1,-2)3 = (0,0)3 = (0,0)
Como todas as massas são iguais ( ), e , temos:
Então, inicialmente, o centro de massa está em (0,0).

Passo 4

Agora, vamos ver qual a força externa agindo no sistema. A única força externa aplicada é Fexterna = M aCM N, que atua sobre .
Segundo a segunda lei de Newton para o centro de massa:
Onde é a massa total do sistema e é a aceleração do centro de massa.

Passo 5

Vamos calcular a aceleração do centro de massa ( Fexterna = M aCM Rightarrow aCM = FexternaM = 2 imath3m = 23m imath ):
Então, a aceleração do centro de massa é na direção .

Passo 6

Agora, vamos analisar a aceleração da partícula F = m am1 + tensões . A força aplicada diretamente em é N. Além disso, há as tensões dos fios que ligam às outras partículas, mas como os fios são rígidos e sem massa, essas tensões servem apenas para manter a configuração do sistema.
A aceleração de ( ) pode ser encontrada pela segunda lei de Newton:
õ
No entanto, devido à rigidez dos fios, as forças internas (tensões) não afetam a aceleração do centro de massa. Assim, a aceleração de em relação ao centro de massa será a mesma que a aceleração do centro de massa do sistema.

Passo 7

Portanto, concluímos que a aceleração da partícula am1 = aCM = 23m imath é igual à aceleração do centro de massa ( ) do sistema. Matemáticamente, temos:

Resposta

As acelerações de e do centro de massa do sistema são iguais, ambas iguais a m/s². Isso ocorre porque a força externa aplicada resulta na aceleração do centro de massa, e, devido à rigidez das conexões, a partícula acelera da mesma forma que o centro de massa.

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