Um sistema massa-mola, com amortecimento fraco, é formado por uma mola de constante elástica igual a
e um corpo de massa igual a
. A constante de atrito é igual
. No tempo inicial o corpo está passando pela origem com velocidade de
. a) Calcule a energia perdida no primeiro ciclo. b) Em quantos ciclos o pêndulo perde
de sua energia inicial? c) Em quantos ciclos a amplitude fica igual à metade da inicial?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema massa-mola com amortecimento fraco. Isso faz parte da matéria de Oscilações e Ondas, mais especificamente sobre Oscilações Dampedas. Para resolver os itens a, b e c, vamos precisar entender como a energia do sistema diminui com o tempo devido ao atrito (ou amortecimento) e como isso afeta o movimento do pêndulo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a energia total do sistema massa-mola. A energia é composta por energia cinética (devida ao movimento) e energia potencial (devida à deformação da mola). A energia total
é dada por:
Onde:
-
é a constante elástica da mola. -
é a amplitude das oscilações.
Além disso, o amortecimento faz com que a energia se perca ao longo do tempo. A constante de amortecimento
está relacionada à taxa de perda de energia.
Passo 3
Vamos resolver o item a): Calcular a energia perdida no primeiro ciclo.
Primeiro, precisamos calcular a energia inicial do sistema. A energia inicial
quando o corpo passa pela origem com velocidade máxima é dada por:
Onde:
Calculando:
Depois de um ciclo, a energia é reduzida devido ao amortecimento. A energia perdida
em um ciclo pode ser calculada usando:
Onde:
-
-
é o período de oscilação.
Primeiro, vamos encontrar o período
:
Agora, substituindo na fórmula da energia perdida:
Calculando
:
Passo 4
Agora, vamos para o item b): Em quantos ciclos o pêndulo perde 3,0 J de sua energia inicial.
Sabemos que a energia inicial
. Queremos encontrar o número de ciclos
onde a energia perdida total
.
A energia após
ciclos é:
A energia perdida é:
Igualando a 3,0 J:
Simplificando:
Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Portanto, o pêndulo perde 3,0 J de sua energia inicial após aproximadamente 22 ciclos.
Passo 5
Finalmente, vamos resolver o item c): Em quantos ciclos a amplitude fica igual à metade da inicial.
A amplitude após
ciclos é dada por:
Queremos que
:
Dividindo ambos os lados por
:
Tomando o logaritmo natural:
Substituindo os valores:
Então, a amplitude do pêndulo fica metade da inicial após aproximadamente 22 ciclos.
Resposta
a) A energia perdida no primeiro ciclo é aproximadamente 0,244 J.
b) O pêndulo perde 3,0 J de sua energia inicial após cerca de 22 ciclos.
c) A amplitude fica igual à metade da inicial após aproximadamente 22 ciclos.
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?
Um sistema massa-mola forçado com amortecimento fraco, é formado por uma mola de constante elástica igua a
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