Um sistema massa-mola, com amortecimento fraco, é formado por uma mola de constante elástica igual a 200 N / m e um corpo de massa igual a 2 , 0 k g. A constante de atrito é igual 0 , 2 k g / s. No tempo inicial o corpo está passando pela origem com velocidade de 2,0 m / s. a) Calcule a energia perdida no primeiro ciclo. b) Em quantos ciclos o pêndulo perde 3 , 0 J de sua energia inicial? c) Em quantos ciclos a amplitude fica igual à metade da inicial?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema massa-mola com amortecimento fraco. Isso faz parte da matéria de Oscilações e Ondas, mais especificamente sobre Oscilações Dampedas. Para resolver os itens a, b e c, vamos precisar entender como a energia do sistema diminui com o tempo devido ao atrito (ou amortecimento) e como isso afeta o movimento do pêndulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a energia total do sistema massa-mola. A energia é composta por energia cinética (devida ao movimento) e energia potencial (devida à deformação da mola). A energia total E = 12 k A^2 é dada por:
Onde:
  • é a constante elástica da mola.
  • é a amplitude das oscilações.
Além disso, o amortecimento faz com que a energia se perca ao longo do tempo. A constante de amortecimento está relacionada à taxa de perda de energia.

Passo 3

Vamos resolver o item a): Calcular a energia perdida no primeiro ciclo.
Primeiro, precisamos calcular a energia inicial do sistema. A energia inicial E0 = 12 m v0^2 quando o corpo passa pela origem com velocidade máxima é dada por:
E0 = 12 times 2.0 , kg times (2.0 , m/s)^2 = 4.0 , J
Onde:
  • De
  • T = 2pi raizmk = 2pi raiz2.0200 = 2pi times 0,1 = 0,2pi , s
Calculando:
De
Depois de um ciclo, a energia é reduzida devido ao amortecimento. A energia perdida De em um ciclo pode ser calculada usando:
Onde:
  • é o período de oscilação.
Primeiro, vamos encontrar o período :
Agora, substituindo na fórmula da energia perdida:
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos para o item b): Em quantos ciclos o pêndulo perde 3,0 J de sua energia inicial.
Sabemos que a energia inicial En = E0 times e^-c T nm . Queremos encontrar o número de ciclos De onde a energia perdida total 3,0 = 4,0 (1 - e^-0,2 times 0,2pi times n2,0) .
A energia após 34 = 1 - e^-0,02pi n ciclos é:
e^-0,02pi n = 1 - 34 = 14
A energia perdida é:
-0,02pi n = ln(14) = -ln(4)
Igualando a 3,0 J:
n = ln(4)0,02pi approx 1,3860,0628 approx 22,05
Simplificando:
Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Portanto, o pêndulo perde 3,0 J de sua energia inicial após aproximadamente 22 ciclos.

Passo 5

Finalmente, vamos resolver o item c): Em quantos ciclos a amplitude fica igual à metade da inicial.
A amplitude após An = A0 times e^-c T n2m ciclos é dada por:
A02 = A0 times e^-c T n2m
Queremos que 12 = e^-c T n2m :
ln(12) = -c T n2m
Dividindo ambos os lados por n = 2m ln(2)c T :
n = 2 times 2,0 times ln(2)0,2 times 0,2pi = 4 times 0,6930,04pi approx 2,7720,1257 approx 22,07
Tomando o logaritmo natural:
Substituindo os valores:
Então, a amplitude do pêndulo fica metade da inicial após aproximadamente 22 ciclos.

Resposta

a) A energia perdida no primeiro ciclo é aproximadamente 0,244 J.
b) O pêndulo perde 3,0 J de sua energia inicial após cerca de 22 ciclos.
c) A amplitude fica igual à metade da inicial após aproximadamente 22 ciclos.

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