Um sistema massa-mola, com amortecimento fraco, é formado por uma mola de constante elástica igual a e um corpo de massa igual a . A constante de atrito é igual . No tempo inicial o corpo está passando pela origem com velocidade de . a) Calcule a energia perdida no primeiro ciclo. b) Em quantos ciclos o pêndulo perde de sua energia inicial? c) Em quantos ciclos a amplitude fica igual à metade da inicial?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema massa-mola com amortecimento fraco. Isso faz parte da matéria de Oscilações e Ondas, mais especificamente sobre Oscilações Dampedas. Para resolver os itens a, b e c, vamos precisar entender como a energia do sistema diminui com o tempo devido ao atrito (ou amortecimento) e como isso afeta o movimento do pêndulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a energia total do sistema massa-mola. A energia é composta por energia cinética (devida ao movimento) e energia potencial (devida à deformação da mola). A energia total é dada por:
Onde:
  • é a constante elástica da mola.
  • é a amplitude das oscilações.
Além disso, o amortecimento faz com que a energia se perca ao longo do tempo. A constante de amortecimento está relacionada à taxa de perda de energia.

Passo 3

Vamos resolver o item a): Calcular a energia perdida no primeiro ciclo.
Primeiro, precisamos calcular a energia inicial do sistema. A energia inicial quando o corpo passa pela origem com velocidade máxima é dada por:
Onde:
Calculando:
Depois de um ciclo, a energia é reduzida devido ao amortecimento. A energia perdida em um ciclo pode ser calculada usando:
Onde:
  • é o período de oscilação.
Primeiro, vamos encontrar o período :
Agora, substituindo na fórmula da energia perdida:
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos para o item b): Em quantos ciclos o pêndulo perde 3,0 J de sua energia inicial.
Sabemos que a energia inicial . Queremos encontrar o número de ciclos onde a energia perdida total .
A energia após ciclos é:
A energia perdida é:
Igualando a 3,0 J:
Simplificando:
Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Portanto, o pêndulo perde 3,0 J de sua energia inicial após aproximadamente 22 ciclos.

Passo 5

Finalmente, vamos resolver o item c): Em quantos ciclos a amplitude fica igual à metade da inicial.
A amplitude após ciclos é dada por:
Queremos que :
Dividindo ambos os lados por :
Tomando o logaritmo natural:
Substituindo os valores:
Então, a amplitude do pêndulo fica metade da inicial após aproximadamente 22 ciclos.

Resposta

a) A energia perdida no primeiro ciclo é aproximadamente 0,244 J.
b) O pêndulo perde 3,0 J de sua energia inicial após cerca de 22 ciclos.
c) A amplitude fica igual à metade da inicial após aproximadamente 22 ciclos.

Exercícios relacionados

Um oscilador forçado, com amortecimento, tem frequência angular natural de , fator de amortecimento de , a massa do corpo que oscila é igual a e a força externa que atua no oscilador tem módulo igual a 20 N. a) Qual a amplitude do movimento oscilatório no regime estacionário, quando a frequência externa for ?
Um sistema massa-mola forçado com amortecimento fraco, é formado por uma mola de constante elástica igua a e um corpo de massa igual a . A constante de atrito do oscilador é igual a . A amplitude do oscilador na ressonância é igual . a) Calcule o valor máximo da força externa aplicada nesse oscilado. b) Encontre a amplitude para baixas frequências e o fator de qualidade.
Um corpo de oscila, preso a certa mola de constante de força . A constante de atrito tem valor . O sistema é excitado por uma força senoidal cujo valor máximo é de e frequência angular . (e) Calcule o fator de qualidade.
A posição de uma partícula é dada por , com em segundos. Qual é © a amplitude do movimento da partícula?