Um sistema massa-mola oscilante, está em movimento criticamente amortecido. Se a frequência natural é de 100 Hz , qual é a contante de tempo (ou tempo característico) para o decaimento da energia desse oscilador?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física que trata de um sistema massa-mola oscilante com amortecimento crítico. O enunciado nos dá a frequência natural do sistema, que é de 100 Hz, e pede para encontrarmos a constante de tempo para o decaimento da energia desse oscilador. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como frequência natural, amortecimento crítico e como a energia decai em sistemas amortecidos.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter a frequência natural de Hertz (Hz) para radianos por segundo (rad/s), pois as fórmulas da física geralmente usam essa unidade. Sabemos que:
onde é a frequência natural em rad/s e é a frequência em Hz. Substituindo :

Passo 3

Em um sistema criticamente amortecido, o amortecimento está no ponto exato para evitar oscilações, mas também para que o sistema retorne ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilar. A constante de amortecimento nesse caso é igual à frequência natural:

Passo 4

A energia de um sistema oscilante amortecido decai exponencialmente com o tempo. A relação para o decaimento da energia é dada por:
onde é a energia no tempo , é a energia inicial, e é a constante de amortecimento.

Passo 5

Queremos encontrar a constante de tempo , que é o tempo característico para o decaimento da energia. Podemos comparar a expressão do decaimento da energia com a forma geral . Assim, temos:
Resolvendo para :

Passo 6

Substituindo o valor de que encontramos:

Resposta

A constante de tempo para o decaimento da energia desse oscilador é aproximadamente segundos.

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