Um sistema massa-mola oscilante, está em movimento criticamente amortecido. Se a frequência natural é de 100 Hz , qual é a contante de tempo tau (ou tempo característico) para o decaimento da energia desse oscilador?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física que trata de um sistema massa-mola oscilante com amortecimento crítico. O enunciado nos dá a frequência natural do sistema, que é de 100 Hz, e pede para encontrarmos a constante de tempo tau para o decaimento da energia desse oscilador. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como frequência natural, amortecimento crítico e como a energia decai em sistemas amortecidos.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter a frequência natural de Hertz (Hz) para radianos por segundo (rad/s), pois as fórmulas da física geralmente usam essa unidade. Sabemos que:
omegan = 2pi f
onde omegan é a frequência natural em rad/s e f é a frequência em Hz. Substituindo f = 100 , Hz:
omegan = 2pi times 100 = 200pi , rad/s

Passo 3

Em um sistema criticamente amortecido, o amortecimento está no ponto exato para evitar oscilações, mas também para que o sistema retorne ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilar. A constante de amortecimento gamma nesse caso é igual à frequência natural:
gamma = omegan = 200pi , rad/s

Passo 4

A energia de um sistema oscilante amortecido decai exponencialmente com o tempo. A relação para o decaimento da energia é dada por:
E(t) = E0 e^-2gamma t
onde E(t) é a energia no tempo t, E0 é a energia inicial, e gamma é a constante de amortecimento.

Passo 5

Queremos encontrar a constante de tempo tau, que é o tempo característico para o decaimento da energia. Podemos comparar a expressão do decaimento da energia com a forma geral E(t) = E0 e^-t/tau. Assim, temos:
-2gamma t = -ttau
Resolvendo para tau:
tau = 12gamma

Passo 6

Substituindo o valor de gamma que encontramos:
tau = 12 times 200pi = 1400pi approx 0,000796 , segundos

Resposta

A constante de tempo tau para o decaimento da energia desse oscilador é aproximadamente 0,000796 segundos.

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