Um sistema massa-mola oscilante, está em movimento criticamente amortecido. Se a frequência natural é de 100 Hz , qual é a contante de tempo
(ou tempo característico) para o decaimento da energia desse oscilador?
Passo 1
Vamos resolver um exercício de física que trata de um sistema massa-mola oscilante com amortecimento crítico. O enunciado nos dá a frequência natural do sistema, que é de 100 Hz, e pede para encontrarmos a constante de tempo
para o decaimento da energia desse oscilador. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como frequência natural, amortecimento crítico e como a energia decai em sistemas amortecidos.
Passo 2
Primeiro, precisamos converter a frequência natural de Hertz (Hz) para radianos por segundo (rad/s), pois as fórmulas da física geralmente usam essa unidade. Sabemos que:
onde
é a frequência natural em rad/s e
é a frequência em Hz. Substituindo
:
Passo 3
Em um sistema criticamente amortecido, o amortecimento está no ponto exato para evitar oscilações, mas também para que o sistema retorne ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilar. A constante de amortecimento
nesse caso é igual à frequência natural:
Passo 4
A energia de um sistema oscilante amortecido decai exponencialmente com o tempo. A relação para o decaimento da energia é dada por:
onde
é a energia no tempo
,
é a energia inicial, e
é a constante de amortecimento.
Passo 5
Queremos encontrar a constante de tempo
, que é o tempo característico para o decaimento da energia. Podemos comparar a expressão do decaimento da energia com a forma geral
. Assim, temos:
Resolvendo para
:
Passo 6
Substituindo o valor de
que encontramos:
Resposta
A constante de tempo
para o decaimento da energia desse oscilador é aproximadamente
segundos.