Em um sistema trifásico em equilíbrio, a fonte está conectada em delta com sequência de fase abc. Há duas cargas em paralelo conectadas em Y. As impedâncias de fase nas cargas 1 e 2 são 4+j 4 Omega e 10+j 4 Omega, respectivamente. A impedância de linha que conecta a fonte às cargas é 0.3+j 0,2 Omega. Se a corrente da fase a da carga 1 é I A N1=10 / 20^circ A rms, determine as correntes delta na fonte.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala de um sistema trifásico equilibrado com algumas conexões específicas. A gente tem uma fonte conectada em delta (triângulo) com sequência de fase abc, duas cargas conectadas em paralelo em Y (estrela), e impedâncias dadas para cada carga e para a linha que conecta a fonte às cargas. Sabemos a corrente de fase a da carga 1 e precisamos descobrir as correntes no delta da fonte.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas trifásicos, conexões em delta e Y, impedâncias em sistemas elétricos e como calcular correntes em diferentes conexões. Vamos passo a passo para não deixar nada no escuro!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as impedâncias das cargas. Temos duas cargas em paralelo conectadas em Y:
  • Carga 1: 1Zeq = 1ZY1 + 1ZY2
  • Carga 2:
Como elas estão em paralelo, precisamos encontrar a impedância equivalente delas. A impedância equivalente de duas impedâncias em paralelo é dada por:
Vamos calcular isso no próximo passo.

Passo 3

Calculando a impedância equivalente das cargas em paralelo:
Primeiro, calculamos os inversos das impedências:
1ZY1 = 14 + j4 = 4 - j4(4)^2 + (4)^2 = 4 - j432 = 18 - j18 , Omega^-1
1ZY2 = 110 + j4 = 10 - j4(10)^2 + (4)^2 = 10 - j4116 approx 0,0862 - j0,0345 , Omega^-1
Agora, somamos os inversos:
1Zeq = ( 18 - j18 ) + ( 0,0862 - j0,0345 ) = 0,2112 - j0,1585 , Omega^-1
Agora, invertemos para encontrar Zeq = 10,2112 - j0,1585 :
Zeq = 1 cdot (0,2112 + j0,1585)(0,2112)^2 + (0,1585)^2 approx 0,2112 + j0,15850,0446 + 0,0252 = 0,2112 + j0,15850,0698 approx 3,025 + j2,272 , Omega
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:

Passo 4

Agora que temos a impedância equivalente das cargas conectadas em Y, precisamos considerar a impedância da linha que conecta a fonte às cargas, que é Ztotal = Zlinha + Zeq = (0,3 + j0,2) + (3,025 + j2,272) = 3,325 + j2,472 , Omega .
Como essas impedâncias estão em série, a impedância total por linha é a soma da impedância da linha e da impedância equivalente das cargas:
Isso nos dá a impedância total por fase entre a fonte e o ponto de carga.

Passo 5

Sabemos que a corrente de fase a da carga 1 é Ia = IAN1 + IAN2 .
Como as duas cargas estão em paralelo em Y, a corrente total na fase a será a soma das correntes nas duas cargas:
IAN2 = VANZY2
Para encontrar , usamos a Lei de Ohm:
Mas primeiro, precisamos encontrar a tensão de linha para a fase a, . Sabemos que em conexões Y, a tensão de fase é igual à tensão entre o neutro e a fase, e para um sistema equilibrado, podemos relacionar as tensões de linha e de fase.

Passo 6

Em um sistema trifásico equilibrado, a tensão de linha Vab = VAN raiz3 ∠30° está relacionada com a tensão de fase por:
Mas para simplificar, vamos assumir que a tensão de linha seja conhecida ou normalizada, já que não nos foi dada uma tensão específica. Assim, vamos focar em relacionar as correntes e impedâncias.
Sabemos que a impedância total por fase e a corrente de fase fornecida à fonte estão relacionados pela tensão da fonte.
Como a fonte está conectada em delta, precisamos relacionar as correntes de linha da fonte às correntes de fase nas cargas.

Passo 7

Em uma conexão delta, a corrente de linha Iline = raiz3 IDe está relacionada com a corrente de fase Itotal = VlineZtotal pela relação:
O que precisamos encontrar são as correntes de linha na fonte ( ).
Para isso, primeiro, precisamos encontrar a corrente total na impedância total :
Mas, como estamos em um sistema equilibrado, podemos relacionar as correntes de fase e de linha diretamente.

Passo 8

Considerando que a corrente fornecida à carga é , e que há duas cargas em paralelo, precisamos ajustar essa corrente para a conexão delta da fonte.
Em uma conexão delta, a tensão entre as linhas é a mesma que a tensão nas fases das cargas conectadas em Y. Portanto, a corrente em cada fase da fonte delta será a soma das correntes nas duas cargas que compartilham essa fase.

Passo 9

Vamos considerar que as duas cargas estão ligadas entre as mesmas linhas da fonte delta. Assim, a corrente na fase a da fonte delta será a soma das correntes nas duas cargas conectadas nessa fase.
Dado que IAN2 = VANZY2 , e precisamos calcular VAN = 10 ∠20° cdot (4 + j4) = 10 ∠20° cdot 5,656 ∠45° = 56,56 ∠65° , V , a corrente na carga 2.
Usando a Lei de Ohm para a carga 2:
IAN2 = 56,56 ∠65°10 + j4 = 56,56 ∠65°10,77 ∠21° approx 5,24 ∠44° , A
Como , temos:
Então,

Passo 10

Agora, somamos as correntes das duas cargas para obter a corrente total na fase a da fonte delta:
IDe
Para somar essas correntes, convertemos para forma retangular:
10 ∠20° = 10 cos20° + j10 sin20° approx 9,40 + j3,42 , A
5,24 ∠44° = 5,24 cos44° + j5,24 sin44° approx 3,82 + j3,92 , A
Somando:
IDe
Convertendo de volta para forma polar:
|IDe
theta = tan^-1(7,3413,22) approx 29,1°
Então,
IDe

Resposta

As correntes no delta da fonte são aproximadamente , e .

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