Em um sistema trifásico em equilibrio, a fonte tem uma sequência de fase a b c e está conectada em Y, c Va n=120 20^circ V rms. A fonte alimenta duas cargas, ambas conectadas em Y. A impedância da carga 1 é 8+j 6 Omega. A potência complexa para a fase a da carga 2 é 600 / 36^circ VA. Determine a corrente de linha para a fase a e a potência complexa total da fonte.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema trifásico equilibrado com fonte conectada em estrela (Y). A fonte tem sequência de fase a- b- c e uma tensão de fase a neutro de Van = 120ang<=20^circ V RMS. Essa fonte está alimentando duas cargas, também conectadas em estrela. A impedância da carga 1 é Z1 = 8 + j6,Omega, e a potência complexa na fase a da carga 2 é S2 = 600ang<=36^circ VA. Nosso objetivo é determinar a corrente de linha na fase a e a potência complexa total da fonte. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de circuitos trifásicos, como a conexão em estrela, cálculo de correntes e potências complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que em uma conexão estrela, a tensão de linha ( VL) está relacionada à tensão de fase ( Vph) pela relação:
VL = raiz3 cdot Vph
No entanto, como já temos a tensão de fase a neutro ( Van), que é 120ang<=20^circ V, não precisamos dessa relação para este problema específico. O importante é que cada carga está conectada em estrela, então a tensão em cada fase para ambas as cargas é a mesma que a tensão da fonte: 120ang<=20^circ V.

Passo 3

Agora, vamos calcular a corrente em cada carga. A corrente em uma carga conectada em estrela pode ser calculada usando a Lei de Ohm para circuitos de corrente alternada:
I = VZ
Onde:
  • I é a corrente,
  • V é a tensão da fase,
  • Z é a impedância da carga.
Primeiro, para a carga 1:
I1 = VanZ1 = 120ang<=20^circ8 + j6
Vamos simplificar a impedância para facilitar o cálculo. A impedância Z1 = 8 + j6,Omega tem módulo e ângulo:
|Z1| = raiz8^2 + 6^2 = 10,Omega
thetaZ1 = arctan(68) = 36.87^circ
Então, Z1 = 10ang<=36.87^circ,Omega.
Agora, calculamos I1:
I1 = 120ang<=20^circ10ang<=36.87^circ = 12ang<=(-16.87^circ),A

Passo 4

Para a carga 2, nos foi dada a potência complexa na fase a:
S2 = 600ang<=36^circ,VA
A potência complexa é relacionada à tensão, corrente e fator de potência pela fórmula:
S = V cdot I^*
Onde I^* é o conjugado da corrente. Podemos rearranjar para encontrar a corrente:
I = S^*V
Primeiro, calculamos o conjugado de S2:
S2^* = 600ang<=-36^circ,VA
Então,
I2 = 600ang<=-36^circ120ang<=20^circ = 5ang<=-56^circ,A

Passo 5

Agora, temos as correntes das duas cargas na fase a:
  • I1 = 12ang<=-16.87^circ,A
  • I2 = 5ang<=-56^circ,A
Como as cargas estão conectadas em estrela e o sistema está equilibrado, a corrente de linha na fase a ( ILinhaa) é a soma vetorial dessas correntes:
ILinhaa = I1 + I2
Para somar essas correntes, precisamos converter as formas polares para retangulares:
I1 = 12cos(-16.87^circ) + j12sin(-16.87^circ) = 11.36 - j3.44,A
I2 = 5cos(-56^circ) + j5sin(-56^circ) = 2.83 - j4.21,A
Somando:
ILinhaa = (11.36 + 2.83) + j(-3.44 - 4.21) = 14.19 - j7.65,A
Convertendo de volta para a forma polar:
|ILinhaa| = raiz14.19^2 + (-7.65)^2 approx 16.0,A
thetaILinhaa = arctan(-7.6514.19) approx -28.5^circ
Portanto,
ILinhaa = 16.0ang<=-28.5^circ,A

Passo 6

Agora, vamos calcular a potência complexa total da fonte. Em um sistema trifásico equilibrado, a potência total ( STotal) é três vezes a potência de uma única fase:
STotal = 3 cdot SFase
Primeiro, calculamos a potência de cada fase somando as potências das duas cargas:
  • Para a carga 1:
S1 = Van cdot I1^* = 120ang<=20^circ cdot 12ang<=16.87^circ = 1440ang<=36.87^circ,VA
  • Para a carga 2, já temos S2 = 600ang<=36^circ,VA
Somando as potências das duas cargas:
SFase = S1 + S2 = 1440ang<=36.87^circ + 600ang<=36^circ
Como os ângulos são praticamente os mesmos, podemos somar os módulos diretamente:
SFase approx 1440 + 600 = 2040,VA
Então, a potência total da fonte é:
STotal = 3 cdot 2040 = 6120,VA

Resposta

A corrente de linha na fase a é 16.0ang<=-28.5^circ A e a potência complexa total da fonte é 6120,VA.

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