Skizzieren Sie die folgenden Flächen, welche jeweils zwischen die Kurve, definiert durch die Funktions f : [a, b] -> R, und die x-Achse enthalten sind, tragen Sie anschliessend pi * Daumen den Massenmittelpunkt ein, und berechnen Sie abschliessend die exakten Koordinaten des Schwerpunktes.
f: [-2, 2] -> R, x -> y = f(x) = 1 + x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenhar a área entre a curva da função no intervalo de e o eixo . Depois disso, queremos encontrar o centro de massa dessa área, também conhecido como o centroide. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral para encontrar as coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área entre a curva e o eixo de a . A fórmula para isso é:
Vamos integrar:
Calculando nos limites:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a coordenada do centro de massa. A fórmula é:
Vamos integrar:
Calculando nos limites:
Então:
Isso faz sentido porque a função é simétrica em relação ao eixo , então o centro de massa está na origem horizontal.

Passo 4

Agora, vamos calcular a coordenada do centro de massa. A fórmula é:
Primeiro, expandimos :
Então, a integral fica:
Calculando nos limites:
Convertendo para frações com denominador 15:
Somando:
Então:

Resposta

O centro de massa da área entre a curva e o eixo no intervalo tem as coordenadas , ou aproximadamente .

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