Skizzieren Sie die folgenden Flächen, welche jeweils zwischen die Kurve, definiert durch die Funktions
:
, und die
-Achse enthalten sind, tragen Sie anschliessend
Daumen den Massenmittelpunkt ein, und berechnen Sie abschliessend die exakten Koordinaten des Schwerpunktes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenhar a área entre a curva da função
no intervalo de
e o eixo
. Depois disso, queremos encontrar o centro de massa dessa área, também conhecido como o centroide. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral para encontrar as coordenadas
do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área
entre a curva
e o eixo
de
a
. A fórmula para isso é:
Vamos integrar:
Calculando nos limites:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a coordenada
do centro de massa. A fórmula é:
Vamos integrar:
Calculando nos limites:
Então:
Isso faz sentido porque a função é simétrica em relação ao eixo
, então o centro de massa está na origem horizontal.
Passo 4
Agora, vamos calcular a coordenada
do centro de massa. A fórmula é:
Primeiro, expandimos
:
Então, a integral fica:
Calculando nos limites:
Convertendo para frações com denominador 15:
Somando:
Então:
Resposta
O centro de massa da área entre a curva
e o eixo
no intervalo
tem as coordenadas
, ou aproximadamente
.