Von den folgenden, durch Integrale definierte Funktionen sind die erste und die zweite Ableitung zu berechnen:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função definida por um integral:
Nosso objetivo aqui é encontrar a primeira e a segunda derivada dessa função. Isso envolve conhecimento de cálculo, especialmente sobre derivadas de funções definidas por integrais. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e as regras de derivação. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida por um integral como essa, a derivada dela em relação a
pode ser encontrada avaliando a função integranda nos limites do integral.
No caso de
, a primeira derivada
é igual a:
O sinal negativo aparece porque o limite inferior do integral é
, que depende de
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, onde
, temos:
Então, a primeira derivada de
é
.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada
. Ou seja, precisamos derivar
.
Para isso, vamos usar a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
. Então, se
, a derivada será:
Passo 5
Considerando o sinal negativo da primeira derivada, a segunda derivada
será:
Resposta
A primeira derivada de
é
e a segunda derivada é
.