Von den folgenden, durch Integrale definierte Funktionen sind die erste und die zweite Ableitung zu berechnen:
G(x)=integralx^4 arctan (t^2) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função definida por um integral:
G(x) = integralx^4 arctan(t^2) , dt
Nosso objetivo aqui é encontrar a primeira e a segunda derivada dessa função. Isso envolve conhecimento de cálculo, especialmente sobre derivadas de funções definidas por integrais. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e as regras de derivação. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de G'(x) = -f(x) . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida por um integral como essa, a derivada dela em relação a pode ser encontrada avaliando a função integranda nos limites do integral.
No caso de , a primeira derivada é igual a:
O sinal negativo aparece porque o limite inferior do integral é , que depende de .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, onde G'(x) = -arctan(x^2) , temos:
Então, a primeira derivada de é .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada ddx arctan(x^2) = 11 + (x^2)^2 cdot 2x = 2x1 + x^4 . Ou seja, precisamos derivar .
Para isso, vamos usar a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . Então, se , a derivada será:

Passo 5

Considerando o sinal negativo da primeira derivada, a segunda derivada G''(x) = -2x1 + x^4 será:

Resposta

A primeira derivada de é e a segunda derivada é .

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