Sobre uma casca esférica de raio
existe uma distribuição uniforme de cargas. Fazendo uma integração direta sobre a casca esférica, determine o potencial elétrico produzido por esta esfera de raio
, num ponto situado a uma distância
do centro de massa da esfera. Considere (a)
, (b)
. Justifique a sua resposta.
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede. Temos uma casca esférica com raio
carregada de forma uniforme. Precisamos calcular o potencial elétrico que essa casca produz em um ponto que está a uma distância
do centro da esfera. Vamos considerar dois casos:
(a) Quando (o ponto está fora ou na superfície da casca)
(b) Quando (o ponto está dentro da casca)
(a) Quando
(b) Quando
Para resolver isso, vamos usar a lei de Coulomb para o potencial elétrico e o conceito de simetria na distribuição de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do potencial elétrico devido a uma carga pontual. O potencial
criado por uma carga
em um ponto a uma distância
é dado por:
Aqui,
é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
Como a casca é esférica e a carga está distribuída uniformemente, podemos considerar que toda a carga contribui para o potencial no ponto considerado. Vamos parametrizar a casca com coordenadas esféricas, onde cada elemento de área
na casca tem uma carga diferencial
, sendo
a densidade superficial de carga.
Passo 4
A densidade superficial de carga
é dada por:
onde
é a carga total na casca e
é a área total da casca.
Passo 5
Para calcular o potencial total
, vamos integrar a contribuição de todos os elementos de carga na casca:
onde
é a distância entre o elemento de carga
e o ponto onde estamos calculando o potencial.
Passo 6
No caso (a) onde
, o ponto está fora da casca. Pela simetria esférica, toda a carga pode ser considerada concentrada no centro da esfera. Portanto, a distância
de cada elemento de carga ao ponto é simplesmente
, já que
.
Passo 7
Substituindo
e
na integral, temos:
A integral
é a área total da casca, que é
. Então:
Substituindo
:
Passo 8
No caso (b) onde
, o ponto está dentro da casca. Devido à simetria esférica e pela lei de Gauss, podemos afirmar que o potencial elétrico dentro de uma casca esférica carregada uniformemente é constante e igual ao potencial na superfície.
Portanto, usando o resultado do caso (a) para
:
Resposta
O potencial elétrico produzido pela casca esférica de raio
num ponto a distância
do centro é:
(a) Para :
(a) Para
(b) Para
: