Sobre uma casca esférica de raio R existe uma distribuição uniforme de cargas. Fazendo uma integração direta sobre a casca esférica, determine o potencial elétrico produzido por esta esfera de raio R, num ponto situado a uma distância z do centro de massa da esfera. Considere (a) z >= R, (b) z. Justifique a sua resposta.

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Temos uma casca esférica com raio R carregada de forma uniforme. Precisamos calcular o potencial elétrico que essa casca produz em um ponto que está a uma distância z do centro da esfera. Vamos considerar dois casos:
(a) Quando z >= R (o ponto está fora ou na superfície da casca)
(b) Quando z < R (o ponto está dentro da casca)
Para resolver isso, vamos usar a lei de Coulomb para o potencial elétrico e o conceito de simetria na distribuição de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do potencial elétrico devido a uma carga pontual. O potencial V criado por uma carga dq em um ponto a uma distância r é dado por:
V = 14pivarepsilon0 dqr
Aqui, varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

Como a casca é esférica e a carga está distribuída uniformemente, podemos considerar que toda a carga contribui para o potencial no ponto considerado. Vamos parametrizar a casca com coordenadas esféricas, onde cada elemento de área dA na casca tem uma carga diferencial dq = sigma dA, sendo sigma a densidade superficial de carga.

Passo 4

A densidade superficial de carga sigma é dada por:
sigma = Q4pi R^2
onde Q é a carga total na casca e 4pi R^2 é a área total da casca.

Passo 5

Para calcular o potencial total V, vamos integrar a contribuição de todos os elementos de carga na casca:
V = 14pivarepsilon0 integral dqr
onde r é a distância entre o elemento de carga dq e o ponto onde estamos calculando o potencial.

Passo 6

No caso (a) onde z >= R, o ponto está fora da casca. Pela simetria esférica, toda a carga pode ser considerada concentrada no centro da esfera. Portanto, a distância r de cada elemento de carga ao ponto é simplesmente z, já que z >= R.

Passo 7

Substituindo dq = sigma dA e r = z na integral, temos:
V = 14pivarepsilon0 sigmaz integral dA
A integral integral dA é a área total da casca, que é 4pi R^2. Então:
V = 14pivarepsilon0 sigmaz cdot 4pi R^2 = sigma R^2varepsilon0 z
Substituindo sigma = Q4pi R^2:
V = Q4pivarepsilon0 z

Passo 8

No caso (b) onde z < R, o ponto está dentro da casca. Devido à simetria esférica e pela lei de Gauss, podemos afirmar que o potencial elétrico dentro de uma casca esférica carregada uniformemente é constante e igual ao potencial na superfície.
Portanto, usando o resultado do caso (a) para z = R:
V = Q4pivarepsilon0 R

Resposta

O potencial elétrico produzido pela casca esférica de raio R num ponto a distância z do centro é:
(a) Para z >= R:
V = Q4pivarepsilon0 z
(b) Para z < R:
V = Q4pivarepsilon0 R

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