Sobre uma casca esférica de raio existe uma distribuição uniforme de cargas. Fazendo uma integração direta sobre a casca esférica, determine o potencial elétrico produzido por esta esfera de raio , num ponto situado a uma distância do centro de massa da esfera. Considere (a) , (b) . Justifique a sua resposta.

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Temos uma casca esférica com raio carregada de forma uniforme. Precisamos calcular o potencial elétrico que essa casca produz em um ponto que está a uma distância do centro da esfera. Vamos considerar dois casos:
(a) Quando (o ponto está fora ou na superfície da casca)
(b) Quando (o ponto está dentro da casca)
Para resolver isso, vamos usar a lei de Coulomb para o potencial elétrico e o conceito de simetria na distribuição de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do potencial elétrico devido a uma carga pontual. O potencial criado por uma carga em um ponto a uma distância é dado por:
Aqui, é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

Como a casca é esférica e a carga está distribuída uniformemente, podemos considerar que toda a carga contribui para o potencial no ponto considerado. Vamos parametrizar a casca com coordenadas esféricas, onde cada elemento de área na casca tem uma carga diferencial , sendo a densidade superficial de carga.

Passo 4

A densidade superficial de carga é dada por:
onde é a carga total na casca e é a área total da casca.

Passo 5

Para calcular o potencial total , vamos integrar a contribuição de todos os elementos de carga na casca:
onde é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o potencial.

Passo 6

No caso (a) onde , o ponto está fora da casca. Pela simetria esférica, toda a carga pode ser considerada concentrada no centro da esfera. Portanto, a distância de cada elemento de carga ao ponto é simplesmente , já que .

Passo 7

Substituindo e na integral, temos:
A integral é a área total da casca, que é . Então:
Substituindo :

Passo 8

No caso (b) onde , o ponto está dentro da casca. Devido à simetria esférica e pela lei de Gauss, podemos afirmar que o potencial elétrico dentro de uma casca esférica carregada uniformemente é constante e igual ao potencial na superfície.
Portanto, usando o resultado do caso (a) para :

Resposta

O potencial elétrico produzido pela casca esférica de raio num ponto a distância do centro é:
(a) Para :
(b) Para :

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