Two isolated, concentric, conducting spherical shells have radii and , uniform charges and , and negligible thicknesses. What is the magnitude of the electric field at radial distance (a) , (b) , and © ? With at infinity, what is at (d) , (e) , (f) , (g) , (h) , and (i) ? (j) Sketch and .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre duas esferas condutoras concêntricas isoladas com cargas elétricas. A gente vai usar conceitos de Campo Elétrico e Potencial Elétrico em eletrostática. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em diferentes distâncias e depois calcular o potencial elétrico com base nesses campos. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como encontrar o campo elétrico em diferentes regiões usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que:
Onde é a carga total dentro de uma superfície gaussiana. Como estamos lidando com esferas concêntricas, vamos escolher superfícies esféricas para facilitar os cálculos.

Passo 3

Parte (a): Para , que está fora das duas esferas.
Aqui, a carga total dentro da superfície gaussiana é . Aplicando a Lei de Gauss:

Passo 4

Parte (b): Para , que está entre as duas esferas ( ).
Aqui, apenas a carga está dentro da superfície gaussiana. Aplicando a Lei de Gauss:

Passo 5

Parte ©: Para , que está dentro da esfera interna ( ).
Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Portanto:

Passo 6

Agora, vamos calcular o potencial elétrico em diferentes pontos, sabendo que no infinito. O potencial é obtido integrando o campo elétrico:

Passo 7

Parte (d): Para , fora das duas esferas.
Usamos o campo elétrico da parte (a):

Passo 8

Parte (e): Para , na segunda esfera.
O potencial aqui é devido às cargas internas e na segunda esfera:

Passo 9

Parte (f): Para , entre as duas esferas.
Aqui, o potencial é devido apenas a e à contribuição da segunda esfera:

Passo 10

Parte (g): Para , na primeira esfera.
O potencial na superfície da primeira esfera é:

Passo 11

Parte (h): Para , dentro da primeira esfera.
Dentro do condutor, o potencial é constante e igual ao da superfície:

Passo 12

Parte (i): Para .
No centro, o potencial é o mesmo que dentro do condutor:

Passo 13

Parte (j): Esboçar e .
Para :
  • para
  • para
  • para
Para :
  • é constante para
  • para
  • para

Resposta

Finalizamos os cálculos! O campo elétrico e o potencial elétrico em cada ponto solicitado foram determinados conforme os passos acima. Se precisar de valores numéricos específicos, basta substituir os valores das constantes e realizar as operações.

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