Two isolated, concentric, conducting spherical shells have radii R1=0.500 m and R2=1.00 m, uniform charges q1=+2.00 mu C and q2=+1.00 mu C, and negligible thicknesses. What is the magnitude of the electric field E at radial distance (a) r=4.00 m, (b) r=0.700 m, and © r=0.200 m ? With V=0 at infinity, what is V at (d) r=4.00 m, (e) r=1.00 m, (f) r=0.700 m, (g) r=0.500 m, (h) r=0.200 m, and (i) r=0 ? (j) Sketch E(r) and V(r).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre duas esferas condutoras concêntricas isoladas com cargas elétricas. A gente vai usar conceitos de Campo Elétrico e Potencial Elétrico em eletrostática. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em diferentes distâncias e depois calcular o potencial elétrico com base nesses campos. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como encontrar o campo elétrico oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 em diferentes regiões usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que:
Onde é a carga total dentro de uma superfície gaussiana. Como estamos lidando com esferas concêntricas, vamos escolher superfícies esféricas para facilitar os cálculos.

Passo 3

Parte (a): Para E cdot 4pi r^2 = q1 + q2varepsilon0 implies E = q1 + q24pi varepsilon0 r^2 , que está fora das duas esferas.
Aqui, a carga total dentro da superfície gaussiana é . Aplicando a Lei de Gauss:

Passo 4

Parte (b): Para E cdot 4pi r^2 = q1varepsilon0 implies E = q14pi varepsilon0 r^2 , que está entre as duas esferas ( ).
Aqui, apenas a carga está dentro da superfície gaussiana. Aplicando a Lei de Gauss:

Passo 5

Parte ©: Para E = 0 , que está dentro da esfera interna ( ).
Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Portanto:

Passo 6

Agora, vamos calcular o potencial elétrico V(r) = -integralinfty^r E , dr em diferentes pontos, sabendo que no infinito. O potencial é obtido integrando o campo elétrico:

Passo 7

Parte (d): Para V = q1 + q24pi varepsilon0 r = (2.00 times 10^-6 + 1.00 times 10^-6)4pi varepsilon0 times 4.00 , fora das duas esferas.
Usamos o campo elétrico da parte (a):

Passo 8

Parte (e): Para V = q1 + q24pi varepsilon0 times 1.00 , na segunda esfera.
O potencial aqui é devido às cargas internas e na segunda esfera:

Passo 9

Parte (f): Para V = q14pi varepsilon0 times 0.700 + q24pi varepsilon0 times 1.00 , entre as duas esferas.
Aqui, o potencial é devido apenas a e à contribuição da segunda esfera:

Passo 10

Parte (g): Para V = q14pi varepsilon0 times 0.500 + q24pi varepsilon0 times 1.00 , na primeira esfera.
O potencial na superfície da primeira esfera é:

Passo 11

Parte (h): Para V = q14pi varepsilon0 times 0.500 + q24pi varepsilon0 times 1.00 , dentro da primeira esfera.
Dentro do condutor, o potencial é constante e igual ao da superfície:

Passo 12

Parte (i): Para V = q14pi varepsilon0 times 0.500 + q24pi varepsilon0 times 1.00 .
No centro, o potencial é o mesmo que dentro do condutor:

Passo 13

Parte (j): Esboçar e .
Para :
  • para
  • para
  • para
Para :
  • é constante para
  • para
  • para

Resposta

Finalizamos os cálculos! O campo elétrico e o potencial elétrico em cada ponto solicitado foram determinados conforme os passos acima. Se precisar de valores numéricos específicos, basta substituir os valores das constantes e realizar as operações.

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