Two isolated, concentric, conducting spherical shells have radii
and
, uniform charges
and
, and negligible thicknesses. What is the magnitude of the electric field
at radial distance (a)
, (b)
, and ©
? With
at infinity, what is
at (d)
, (e)
, (f)
, (g)
, (h)
, and (i)
? (j) Sketch
and
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre duas esferas condutoras concêntricas isoladas com cargas elétricas. A gente vai usar conceitos de Campo Elétrico e Potencial Elétrico em eletrostática. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em diferentes distâncias e depois calcular o potencial elétrico com base nesses campos. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender como encontrar o campo elétrico
em diferentes regiões usando a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que:
Onde
é a carga total dentro de uma superfície gaussiana. Como estamos lidando com esferas concêntricas, vamos escolher superfícies esféricas para facilitar os cálculos.
Passo 3
Parte (a): Para
, que está fora das duas esferas.
Aqui, a carga total dentro da superfície gaussiana é
. Aplicando a Lei de Gauss:
Passo 4
Parte (b): Para
, que está entre as duas esferas (
).
Aqui, apenas a carga
está dentro da superfície gaussiana. Aplicando a Lei de Gauss:
Passo 5
Parte ©: Para
, que está dentro da esfera interna (
).
Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Portanto:
Passo 6
Agora, vamos calcular o potencial elétrico
em diferentes pontos, sabendo que
no infinito. O potencial é obtido integrando o campo elétrico:
Passo 7
Parte (d): Para
, fora das duas esferas.
Usamos o campo elétrico da parte (a):
Passo 8
Parte (e): Para
, na segunda esfera.
O potencial aqui é devido às cargas internas e na segunda esfera:
Passo 9
Parte (f): Para
, entre as duas esferas.
Aqui, o potencial é devido apenas a
e à contribuição da segunda esfera:
Passo 10
Parte (g): Para
, na primeira esfera.
O potencial na superfície da primeira esfera é:
Passo 11
Parte (h): Para
, dentro da primeira esfera.
Dentro do condutor, o potencial é constante e igual ao da superfície:
Passo 12
Parte (i): Para
.
No centro, o potencial é o mesmo que dentro do condutor:
Passo 13
Parte (j): Esboçar
e
.
Para
:
-
para -
para -
para
Para
:
-
é constante para -
para -
para
Resposta
Finalizamos os cálculos! O campo elétrico
e o potencial elétrico
em cada ponto solicitado foram determinados conforme os passos acima. Se precisar de valores numéricos específicos, basta substituir os valores das constantes e realizar as operações.
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