Sobre uma elipse E, sabe-se que:
- o centro tem coordenadas
;
- a excentricidade é igual a 0.5 ;
- a reta focal é paralela ao eixo
;
- o ponto
pertence a E.
Complete:
© Se
é uma equação para E, então:
,
Complete:
© Se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma elipse
com algumas informações:
- O centro está em
. - A excentricidade
é 0,5. - A reta focal (ou seja, o eixo principal da elipse) é paralela ao eixo
. - O ponto
está na elipse.
Precisamos encontrar os coeficientes
e
na equação geral da elipse:
Para resolver isso, vamos lembrar que uma elipse com eixo principal paralelo ao eixo
tem uma equação padrão que não possui o termo
(ou seja,
). Vamos usar as informações dadas para encontrar
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da excentricidade de uma elipse:
Onde:
-
é a distância do centro até cada foco. -
é o comprimento do semi-eixo maior.
Sabemos que
, então:
Passo 3
Como o eixo principal é paralelo ao eixo
, a equação padrão da elipse é:
Onde
é o centro da elipse.
Substituindo o centro
:
Passo 4
Sabemos também que em uma elipse:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, vamos usar o ponto
que está na elipse para encontrar
e
.
Substituindo
e
na equação da elipse:
Passo 6
Com
, podemos encontrar
:
Passo 7
Agora, substituímos
e
na equação padrão da elipse:
Multiplicando tudo por 76 para eliminar os denominadores:
Passo 8
Expandindo os termos:
Passo 9
Agrupando os termos:
Subtraindo 76 de ambos os lados:
Passo 10
Comparando com a equação geral
, temos:
-
(não há termo ) -
-