Sobre uma elipse E, sabe-se que:
  • o centro tem coordenadas (-2,1);
  • a excentricidade é igual a 0.5 ;
  • a reta focal é paralela ao eixo O x;
  • o ponto (0,5) pertence a E.
    Complete:
    © Se x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0 é uma equação para E, então: C= square , e= square

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma elipse x^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 com algumas informações:
  • O centro está em .
  • A excentricidade é 0,5.
  • A reta focal (ou seja, o eixo principal da elipse) é paralela ao eixo .
  • O ponto está na elipse.
Precisamos encontrar os coeficientes e na equação geral da elipse:
Para resolver isso, vamos lembrar que uma elipse com eixo principal paralelo ao eixo tem uma equação padrão que não possui o termo (ou seja, ). Vamos usar as informações dadas para encontrar e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da excentricidade de uma elipse:
e = ca
Onde:
  • 0,5 = ca é a distância do centro até cada foco.
  • c = 0,5a é o comprimento do semi-eixo maior.
Sabemos que , então:

Passo 3

Como o eixo principal é paralelo ao eixo (x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1 , a equação padrão da elipse é:
(x + 2)^2a^2 + (y - 1)^2b^2 = 1
Onde é o centro da elipse.
Substituindo o centro :

Passo 4

Sabemos também que em uma elipse:
b^2 = a^2 (1 - e^2)
Substituindo b^2 = a^2 (1 - 0,25) :
b^2 = 0,75a^2

Passo 5

Agora, vamos usar o ponto (0 + 2)^2a^2 + (5 - 1)^2b^2 = 1 que está na elipse para encontrar 4a^2 + 160,75a^2 = 1 e 4a^2 + 160,75a^2 = 1 .
Substituindo 4a^2 + 643a^2 = 1 e 4 cdot 3 + 643a^2 = 1 na equação da elipse:
763a^2 = 1
3a^2 = 76
a^2 = 763
a = raiz763

Passo 6

Com b^2 = 0,75 cdot 763 , podemos encontrar b^2 = 573 :
b^2 = 19

Passo 7

Agora, substituímos (x + 2)^2763 + (y - 1)^219 = 1 e 3(x + 2)^2 + 4(y - 1)^2 = 76 na equação padrão da elipse:
Multiplicando tudo por 76 para eliminar os denominadores:

Passo 8

Expandindo os termos:
3(x^2 + 4x + 4) + 4(y^2 - 2y + 1) = 76
3x^2 + 12x + 12 + 4y^2 - 8y + 4 = 76

Passo 9

Agrupando os termos:
3x^2 + 4y^2 + 12x - 8y + 16 = 76
Subtraindo 76 de ambos os lados:
3x^2 + 4y^2 + 12x - 8y - 60 = 0

Passo 10

Comparando com a equação geral , temos:
  • (não há termo )

Resposta

e

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