Sobre uma haste atuam um binário e duas forças, cada qual de intensidade . (a) Deduza uma equação em função de e , a qual deve ser satisfeita quando a haste estiver em equilíbrio. (b) Determine o valor de correspondente ao equilíbrio quando e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma haste sobre a qual estão agindo um binário e duas forças de intensidade . Queremos descobrir como esses elementos se relacionam quando a haste está em equilíbrio. Para isso, vamos usar os conceitos de equilíbrio estático e torques (momentos de força).

Passo 2

Para que a haste esteja em equilíbrio, a soma de todos os torques (momentos de força) que atuam sobre ela deve ser igual a zero. O torque é calculado multiplicando a força pela distância perpendicular ao ponto de rotação.

Passo 3

Vamos considerar que o ponto de rotação está em uma das extremidades da haste, digamos no ponto . O binário atua diretamente no ponto , então sua distância é (o comprimento da haste). As duas forças atuam em pontos diferentes da haste, formando um ângulo com a haste.

Passo 4

O torque gerado pelo binário é simplesmente , pois já está definido como um momento de força. Já o torque gerado por cada força é dado por , já que a distância perpendicular é .

Passo 5

Como temos duas forças , o torque total das forças será . Para o equilíbrio, a soma dos torques deve ser zero:

Passo 6

Agora, vamos reorganizar essa equação para relacionar com as outras variáveis:

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b) do exercício, onde precisamos encontrar o valor de quando , e (que é igual a ).

Passo 8

Vamos usar a equação que deduzimos:

Passo 9

Vamos simplificar a equação:

Passo 10

Agora, isolamos :

Passo 11

Para encontrar , aplicamos a função seno inverso:

Passo 12

Calculando o valor de :

Resposta

O ângulo correspondente ao equilíbrio é aproximadamente .

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