Sobre uma partícula atua uma força
. Determine
trabalho realizado pela força ao longo do caminho fechado ABCA. Essa força é conservativa? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma força
que atua sobre uma partícula ao longo de um caminho fechado ABCA. A gente precisa descobrir quanto trabalho essa força realiza nesse trajeto e também verificar se essa força é conservativa. Para isso, vamos precisar entender o que é trabalho em um campo de forças e o que significa uma força ser conservativa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho é dado pela integral da força ao longo desse caminho. Matemáticamente, isso é representado por:
Como o caminho é fechado, isso significa que a partícula retorna ao ponto de partida, formando um loop.
Passo 3
Agora, para saber se o trabalho é zero ou não, precisamos verificar se a força
é conservativa. Uma força é conservativa se existir uma função potencial
tal que:
Além disso, em campos de força conservativos, o trabalho realizado ao longo de qualquer caminho fechado é sempre zero.
Passo 4
Para verificar se
é conservativa, vamos usar a condição de conservatividade: em duas dimensões, uma força
é conservativa se:
No nosso caso, temos
e
.
Passo 5
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a condição de conservatividade é satisfeita. Portanto, a força
é conservativa.
Passo 6
Como a força é conservativa, sabemos que o trabalho realizado ao longo de um caminho fechado é zero:
Resposta
O trabalho realizado pela força
ao longo do caminho fechado ABCA é igual a zero joules, e a força é conservativa.
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