Sobre uma partícula atua uma força F=(2 x^2 i+3 y^2 j) N. Determine o trabalho realizado pela força ao longo do caminho fechado ABCA. Essa força é conservativa? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma força F = (2x^2 i + 3y^2 j) , N que atua sobre uma partícula ao longo de um caminho fechado ABCA. A gente precisa descobrir quanto trabalho essa força realiza nesse trajeto e também verificar se essa força é conservativa. Para isso, vamos precisar entender o que é trabalho em um campo de forças e o que significa uma força ser conservativa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho é dado pela integral da força ao longo desse caminho. Matemáticamente, isso é representado por:
W = ointABCA F cdot dr
Como o caminho é fechado, isso significa que a partícula retorna ao ponto de partida, formando um loop.

Passo 3

Agora, para saber se o trabalho é zero ou não, precisamos verificar se a força F é conservativa. Uma força é conservativa se existir uma função potencial U(x, y) tal que:
F = -nabla U
Além disso, em campos de força conservativos, o trabalho realizado ao longo de qualquer caminho fechado é sempre zero.

Passo 4

Para verificar se F é conservativa, vamos usar a condição de conservatividade: em duas dimensões, uma força F = P(x, y) i + Q(x, y) j é conservativa se:
partial Qpartial x = partial Ppartial y
No nosso caso, temos P(x, y) = 2x^2 e Q(x, y) = 3y^2.

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x(3y^2) = 0
partial Ppartial y = partialpartial y(2x^2) = 0
Como partial Qpartial x = partial Ppartial y, a condição de conservatividade é satisfeita. Portanto, a força F é conservativa.

Passo 6

Como a força é conservativa, sabemos que o trabalho realizado ao longo de um caminho fechado é zero:
W = 0 , J

Resposta

O trabalho realizado pela força F ao longo do caminho fechado ABCA é igual a zero joules, e a força é conservativa.

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