Três blocos e de mármore, de mesma massa específica e mesma área de secção transversal A têm alturas respectivamente iguais a e , sendo . Eles estão inicialmente no solo horizontal, repousando sobre suas bases. Em seguida são empilhados, formando uma coluna de altura . A aceleração da gravidade é g. Determine o trabalho realizado na operação de empilhar.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos três blocos de mármore, chamados , e , que têm a mesma densidade e área de secção transversal . Suas alturas são , e , respectivamente, com . Inicialmente, todos estão no chão formando uma base horizontal. Depois, eles são empilhados para formar uma coluna com altura total . Queremos descobrir o trabalho realizado para empilhar esses blocos.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de trabalho na física, que envolvem força e deslocamento, e também a noção de energia potencial gravitacional, que está relacionada à altura a que cada bloco é levantado. Vamos usar fórmulas matemáticas para calcular essas energias.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa de cada bloco. Sabemos que a densidade é a massa por unidade de volume, e o volume de cada bloco é dado pela área da base multiplicada pela altura . Então, a massa de cada bloco é:
Portanto, as massas dos blocos são:

Passo 3

Em seguida, vamos determinar a altura média a que cada bloco precisa ser levantado para ser empilhado. O primeiro bloco fica no chão, então não precisa ser levantado, ou seja, a altura média é zero:
O segundo bloco será colocado em cima do , então ele precisa ser levantado até a altura para estar corretamente posicionado no centro de massa:
O terceiro bloco será colocado em cima do , então ele precisa ser levantado até a altura :

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia potencial gravitacional ( ) que cada bloco ganha ao ser levantado. A energia potencial é dada por:
onde é a massa do bloco, é a aceleração da gravidade, e é a altura a que o bloco foi levantado.
Então, a energia potencial de cada bloco será:

Passo 5

O trabalho realizado para empilhar os blocos é igual à soma das energias potenciais que cada bloco ganha. Então, o trabalho total é:
Substituindo os valores que calculamos:

Resposta

O trabalho realizado na operação de empilhar é:

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