Três blocos
e
de mármore, de mesma massa específica
e mesma área de secção transversal A têm alturas respectivamente iguais a
e
, sendo
. Eles estão inicialmente no solo horizontal, repousando sobre suas bases. Em seguida são empilhados, formando uma coluna de altura
. A aceleração da gravidade é g. Determine o trabalho realizado na operação de empilhar.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos três blocos de mármore, chamados
,
e
, que têm a mesma densidade
e área de secção transversal
. Suas alturas são
,
e
, respectivamente, com
. Inicialmente, todos estão no chão formando uma base horizontal. Depois, eles são empilhados para formar uma coluna com altura total
. Queremos descobrir o trabalho realizado para empilhar esses blocos.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de trabalho na física, que envolvem força e deslocamento, e também a noção de energia potencial gravitacional, que está relacionada à altura a que cada bloco é levantado. Vamos usar fórmulas matemáticas para calcular essas energias.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa de cada bloco. Sabemos que a densidade
é a massa por unidade de volume, e o volume
de cada bloco é dado pela área da base
multiplicada pela altura
. Então, a massa
de cada bloco é:
Portanto, as massas dos blocos são:
Passo 3
Em seguida, vamos determinar a altura média a que cada bloco precisa ser levantado para ser empilhado. O primeiro bloco
fica no chão, então não precisa ser levantado, ou seja, a altura média
é zero:
O segundo bloco
será colocado em cima do
, então ele precisa ser levantado até a altura
para estar corretamente posicionado no centro de massa:
O terceiro bloco
será colocado em cima do
, então ele precisa ser levantado até a altura
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia potencial gravitacional (
) que cada bloco ganha ao ser levantado. A energia potencial é dada por:
onde
é a massa do bloco,
é a aceleração da gravidade, e
é a altura a que o bloco foi levantado.
Então, a energia potencial de cada bloco será:
Passo 5
O trabalho realizado para empilhar os blocos é igual à soma das energias potenciais que cada bloco ganha. Então, o trabalho total
é:
Substituindo os valores que calculamos:
Resposta
O trabalho realizado na operação de empilhar é:
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