Três blocos B1, B2 e B3 de mármore, de mesma massa específica rho e mesma área de secção transversal A têm alturas respectivamente iguais a h1, h2 e h3, sendo h1>h2>h3. Eles estão inicialmente no solo horizontal, repousando sobre suas bases. Em seguida são empilhados, formando uma coluna de altura h=h1+h2+h3. A aceleração da gravidade é g. Determine o trabalho realizado na operação de empilhar.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos três blocos de mármore, chamados B1, B2 e B3, que têm a mesma densidade rho e área de secção transversal A. Suas alturas são h1, h2 e h3, respectivamente, com h1 > h2 > h3. Inicialmente, todos estão no chão formando uma base horizontal. Depois, eles são empilhados para formar uma coluna com altura total h = h1 + h2 + h3. Queremos descobrir o trabalho realizado para empilhar esses blocos.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de trabalho na física, que envolvem força e deslocamento, e também a noção de energia potencial gravitacional, que está relacionada à altura a que cada bloco é levantado. Vamos usar fórmulas matemáticas para calcular essas energias.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa de cada bloco. Sabemos que a densidade rho é a massa por unidade de volume, e o volume V de cada bloco é dado pela área da base A multiplicada pela altura h. Então, a massa m de cada bloco é:
m = rho times V = rho times A times h
Portanto, as massas dos blocos são:
m1 = rho A h1, m2 = rho A h2, m3 = rho A h3

Passo 3

Em seguida, vamos determinar a altura média a que cada bloco precisa ser levantado para ser empilhado. O primeiro bloco B1 fica no chão, então não precisa ser levantado, ou seja, a altura média y1 é zero:
y1 = 0
O segundo bloco B2 será colocado em cima do B1, então ele precisa ser levantado até a altura h1/2 + h2/2 para estar corretamente posicionado no centro de massa:
y2 = h1 + h22
O terceiro bloco B3 será colocado em cima do B2, então ele precisa ser levantado até a altura h1 + h2/2 + h3/2:
y3 = h1 + h2 + h32

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia potencial gravitacional ( U) que cada bloco ganha ao ser levantado. A energia potencial é dada por:
U = m g y
onde m é a massa do bloco, g é a aceleração da gravidade, e y é a altura a que o bloco foi levantado.
Então, a energia potencial de cada bloco será:
U1 = m1 g y1 = rho A h1 g times 0 = 0
U2 = m2 g y2 = rho A h2 g (h1 + h22)
U3 = m3 g y3 = rho A h3 g (h1 + h2 + h32)

Passo 5

O trabalho realizado para empilhar os blocos é igual à soma das energias potenciais que cada bloco ganha. Então, o trabalho total W é:
W = U1 + U2 + U3
Substituindo os valores que calculamos:
W = 0 + rho A h2 g (h1 + h22) + rho A h3 g (h1 + h2 + h32)

Resposta

O trabalho realizado na operação de empilhar é:
W = rho A g ( h2 (h1 + h22) + h3 (h1 + h2 + h32) )

Exercícios relacionados