Use o teste da comparação para determinar se a série é convergente ou divergente: sumn=2^infty 3ln (n^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está pedindo para a gente usar o teste da comparação para descobrir se a série converge ou diverge. O teste da comparação é uma ferramenta que nos ajuda a comparar uma série com outra que já sabemos se ela converge ou diverge. Para isso, precisamos identificar uma série comparável e entender um pouco sobre como funcionam as séries e seus comportamentos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da nossa série. Sabemos que sumn=2^infty 32ln(n) = 32 sumn=2^infty 1ln(n) . Então, podemos reescrever a série assim:
Isso nos ajuda a focar na série .

Passo 3

Agora, vamos pensar em uma série que possamos comparar com . Uma boa opção é a série harmônica , que sabemos que diverge. Vamos verificar a relação entre os termos das duas séries.

Passo 4

Observamos que para todo 1ln(n) > 1n , . Isso significa que:
Como diverge e os termos de são maiores que os termos dessa série harmônica, pelo teste da comparação, a nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da comparação.

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