Use algum teste apropriado para determinar se a série é convergente ou divergente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Comparação ou o Teste do Limite. Vamos precisar entender como o termo geral da série se comporta quando
fica bem grande.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Sabemos que quando
é bem pequeno,
é aproximadamente igual a
. Então, à medida que
cresce,
fica bem pequeno, e podemos dizer que:
Isso significa que, para valores grandes de
, o termo da nossa série se comporta como
.
Passo 3
Sabendo que
para
grandes, podemos comparar nossa série com a série harmônica
. A série harmônica é famosa por ser divergente, ou seja, ela não soma para um número finito.
Vamos usar o Teste do Limite da Comparação. Esse teste diz que se a razão entre os termos de duas séries tende a um número diferente de zero, então ambas as séries convergem ou divergem juntas.
Passo 4
Aplicando o Teste do Limite da Comparação:
Como esse limite é igual a 1 (um número diferente de zero), concluímos que a série
tem o mesmo comportamento da série harmônica, ou seja, também diverge.
Resposta
A série
diverge.