Use algum teste apropriado para determinar se a série é convergente ou divergente: sumn=1^infty tan (1n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Comparação ou o Teste do Limite. Vamos precisar entender como o termo geral da série se comporta quando fica bem grande.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: tan(1n) approx 1n . Sabemos que quando é bem pequeno, é aproximadamente igual a . Então, à medida que cresce, fica bem pequeno, e podemos dizer que:
Isso significa que, para valores grandes de , o termo da nossa série se comporta como .

Passo 3

Sabendo que para grandes, podemos comparar nossa série com a série harmônica . A série harmônica é famosa por ser divergente, ou seja, ela não soma para um número finito.
Vamos usar o Teste do Limite da Comparação. Esse teste diz que se a razão entre os termos de duas séries tende a um número diferente de zero, então ambas as séries convergem ou divergem juntas.

Passo 4

Aplicando o Teste do Limite da Comparação:
limn to infty tan(1n)1n = limx to 0 tan(x)x = 1
Como esse limite é igual a 1 (um número diferente de zero), concluímos que a série tem o mesmo comportamento da série harmônica, ou seja, também diverge.

Resposta

A série diverge.

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