Um sólido esférico feito de um material isolante tem raio a=3,0 cm e está eletrizado com uma carga total q1=+4,0 mu C. Esse corpo é envolvido por uma casca esférica condutora de raio interno b=6,0 cm e raio externo c=7,0 cm. A casca esférica possui carga q2=+2,0 mu C e se encontra em equilibrio eletrostático. Usando a Lei de Gauss e as propriedades de um condutor em equilibrio, descreva o campo elétrico (módulo, direção e sentido) resultante a uma distancia r do centro, para os seguintes pontos: (a) r=1,0 cm (ponto A); (b) r=4,0 cm (ponto B) © r=6,5 cm (ponto C) e (d) r=10 cm (ponto D). (e) Descreva a distribuição de cargas nas paredes interna e externa da casca. (2,5).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera sólida isolante com raio de 3,0 cm e carga total de . Essa esfera está envolta por uma casca esférica condutora com raio interno de 6,0 cm e raio externo de 7,0 cm, que possui uma carga de e está em equilíbrio eletrostático. A gente precisa usar a Lei de Gauss e as propriedades de um condutor em equilíbrio para descrever o campo elétrico em diferentes pontos a uma distância do centro da esfera. Além disso, temos que descrever como as cargas se distribuem nas paredes interna e externa da casca.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos ajuda a calcular o campo elétrico ao redor de uma distribuição de carga simétrica. A fórmula da Lei de Gauss é:
oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0
Onde é a carga total dentro da superfície gaussiana e é a constante de permissividade do vácuo.
Também, lembrando que em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero, e as cargas livres se distribuem somente na superfície externa.

Passo 3

Vamos analisar cada ponto:

a) (ponto A)

Esse ponto está dentro da esfera isolante, já que o raio é menor que 3,0 cm. Vamos calcular o campo aqui.

b) (ponto B)

Esse ponto está entre a esfera isolante e a casca condutora. Precisamos ver qual carga está dentro dessa região.

c) (ponto C)

Esse ponto está dentro da casca condutora, entre 6,0 cm e 7,0 cm. Como a casca é condutora e está em equilíbrio, o campo aqui deve ser zero.

d) (ponto D)

Esse ponto está fora da casca condutora. Aqui, consideramos todas as cargas internas para calcular o campo.

e) Distribuição de cargas nas paredes da casca

Precisamos determinar como a carga na casca se distribui nas paredes interna e externa.

Passo 4

Vamos resolver cada parte:

a) rho = q143pi a^3 (ponto A)

Como qdentro = rho cdot 43pi r^3 = q1 (ra)^3 , usamos a Lei de Gauss considerando que a carga está distribuída de forma uniforme na esfera isolante. A carga dentro da superfície gaussiana é proporcional ao volume.
A densidade de carga E cdot 4pi r^2 = qdentrovarepsilon0 Rightarrow E = qdentro4pi varepsilon0 r^2 = q14pi varepsilon0 a^3 r é:
E = q14pi varepsilon0 r^2
A carga dentro de raio E = 0 é:
E = q1 + q24pi varepsilon0 r^2
Aplicando a Lei de Gauss:

b) (ponto B)

Aqui, . A única carga dentro da superfície gaussiana é .
Aplicando a Lei de Gauss:

c) (ponto C)

Esse ponto está dentro do condutor. Em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico no interior de um condutor é zero.

d) (ponto D)

Aqui, . Consideramos todas as cargas: .
Aplicando a Lei de Gauss:

e) Distribuição de cargas nas paredes da casca

Em um condutor em equilíbrio:
  • A carga induzida na parede interna é .
  • A carga na parede externa é .

Resposta

a) E = q14pi varepsilon0 a^3 cdot r = 4,0 times 10^-6,C4pi cdot 8,85 times 10^-12,F/m cdot (0,03,m)^3 cdot 0,01,m approx 1,26 times 10^5,N/C

E = q14pi varepsilon0 r^2 = 4,0 times 10^-6,C4pi cdot 8,85 times 10^-12,F/m cdot (0,04,m)^2 approx 2,26 times 10^5,N/C
O campo aponta radialmente para fora.

b) E = 0,N/C

E = q1 + q24pi varepsilon0 r^2 = 4,0 times 10^-6,C + 2,0 times 10^-6,C4pi cdot 8,85 times 10^-12,F/m cdot (0,10,m)^2 approx 1,52 times 10^5,N/C
O campo aponta radialmente para fora.

c)

Não há campo elétrico dentro do condutor.

d)

O campo aponta radialmente para fora.

e) Distribuição de cargas nas paredes da casca

  • Parede interna:
  • Parede externa:

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