Um sólido esférico feito de um material isolante tem raio
e está eletrizado com uma carga total
. Esse corpo é envolvido por uma casca esférica condutora de raio interno
e raio externo
. A casca esférica possui carga
e se encontra em equilibrio eletrostático. Usando a Lei de Gauss e as propriedades de um condutor em equilibrio, descreva o campo elétrico (módulo, direção e sentido) resultante a uma distancia
do centro, para os seguintes pontos: (a)
(ponto A); (b)
(ponto B) ©
(ponto C) e (d)
(ponto D). (e) Descreva a distribuição de cargas nas paredes interna e externa da casca.
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera sólida isolante com raio de 3,0 cm e carga total de
. Essa esfera está envolta por uma casca esférica condutora com raio interno de 6,0 cm e raio externo de 7,0 cm, que possui uma carga de
e está em equilíbrio eletrostático. A gente precisa usar a Lei de Gauss e as propriedades de um condutor em equilíbrio para descrever o campo elétrico em diferentes pontos a uma distância
do centro da esfera. Além disso, temos que descrever como as cargas se distribuem nas paredes interna e externa da casca.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos ajuda a calcular o campo elétrico ao redor de uma distribuição de carga simétrica. A fórmula da Lei de Gauss é:
Onde
é a carga total dentro da superfície gaussiana e
é a constante de permissividade do vácuo.
Também, lembrando que em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero, e as cargas livres se distribuem somente na superfície externa.
Passo 3
Vamos analisar cada ponto:
a)
(ponto A)
Esse ponto está dentro da esfera isolante, já que o raio é menor que 3,0 cm. Vamos calcular o campo aqui.
b)
(ponto B)
Esse ponto está entre a esfera isolante e a casca condutora. Precisamos ver qual carga está dentro dessa região.
c)
(ponto C)
Esse ponto está dentro da casca condutora, entre 6,0 cm e 7,0 cm. Como a casca é condutora e está em equilíbrio, o campo aqui deve ser zero.
d)
(ponto D)
Esse ponto está fora da casca condutora. Aqui, consideramos todas as cargas internas para calcular o campo.
e) Distribuição de cargas nas paredes da casca
Precisamos determinar como a carga na casca se distribui nas paredes interna e externa.
Passo 4
Vamos resolver cada parte:
a)
(ponto A)
Como
, usamos a Lei de Gauss considerando que a carga está distribuída de forma uniforme na esfera isolante. A carga dentro da superfície gaussiana é proporcional ao volume.
A densidade de carga
é:
A carga dentro de raio
é:
Aplicando a Lei de Gauss:
b)
(ponto B)
Aqui,
. A única carga dentro da superfície gaussiana é
.
Aplicando a Lei de Gauss:
c)
(ponto C)
Esse ponto está dentro do condutor. Em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico no interior de um condutor é zero.
d)
(ponto D)
Aqui,
. Consideramos todas as cargas:
.
Aplicando a Lei de Gauss:
e) Distribuição de cargas nas paredes da casca
Em um condutor em equilíbrio:
- A carga induzida na parede interna é
. - A carga na parede externa é
.
Resposta
a)
O campo aponta radialmente para fora.
b)
O campo aponta radialmente para fora.
c)
Não há campo elétrico dentro do condutor.
d)
O campo aponta radialmente para fora.
e) Distribuição de cargas nas paredes da casca
- Parede interna:
- Parede externa:
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