Um sólido S é gerado fazendo girar em torno do eixo x a região delimitada pelo eixo x e pela curva y = raiz(sen(x)) (0 <= x <= pi).
(a) Dado x entre 0 e pi, a área da seção transversal de S em x, perpendicular ao eixo x, é A(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma curva definida por no intervalo de a . Esse negócio aí é girado em torno do eixo , formando um sólido. Nosso objetivo aqui é encontrar a área da seção transversal desse sólido em um ponto qualquer , perpendicular ao eixo . Para isso, vamos precisar entender como calcular áreas de círculos e aplicar um pouco de geometria.

Passo 2

Quando a região é girada em torno do eixo , a seção transversal perpendicular a esse eixo em qualquer ponto será um círculo. O raio desse círculo é dado pelo valor de naquele ponto . No nosso caso, , então o raio do círculo na posição é .

Passo 3

Agora, para encontrar a área de um círculo, a gente usa a fórmula clássica da área:
onde é o raio do círculo. Essa fórmula é básica na geometria e serve para qualquer círculo, independentemente do tamanho.

Passo 4

Substituindo o raio que encontramos no Passo 2 na fórmula da área, temos:
Simplificando o que está dentro do parênteses:
Então, a área fica:

Resposta

A área da seção transversal em é .

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