Um sólido
é gerado fazendo girar em torno do eixo
a região delimitada pelo eixo
e pela curva
.
(a) Dado
entre 0 e
, a área da seção transversal de
em
, perpendicular ao eixo
, é
.
(a) Dado
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma curva definida por
no intervalo de
a
. Esse negócio aí é girado em torno do eixo
, formando um sólido. Nosso objetivo aqui é encontrar a área da seção transversal desse sólido em um ponto qualquer
, perpendicular ao eixo
. Para isso, vamos precisar entender como calcular áreas de círculos e aplicar um pouco de geometria.
Passo 2
Quando a região é girada em torno do eixo
, a seção transversal perpendicular a esse eixo em qualquer ponto
será um círculo. O raio desse círculo é dado pelo valor de
naquele ponto
. No nosso caso,
, então o raio do círculo na posição
é
.
Passo 3
Agora, para encontrar a área de um círculo, a gente usa a fórmula clássica da área:
onde
é o raio do círculo. Essa fórmula é básica na geometria e serve para qualquer círculo, independentemente do tamanho.
Passo 4
Substituindo o raio que encontramos no Passo 2 na fórmula da área, temos:
Simplificando o que está dentro do parênteses:
Então, a área fica:
Resposta
A área da seção transversal em
é
.