Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me passou: . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Vamos usar o método da variação dos parâmetros para achar a solução geral. Para isso, precisamos primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma e substituímos na equação para encontrar os valores de .
Passo 3
Substituindo na equação homogênea:
Fatorando :
Como nunca é zero, temos:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa usando o método da variação dos parâmetros.
O método da variação dos parâmetros assume que a solução particular pode ser escrita como uma combinação linear das soluções da equação homogênea, mas com coeficientes que são funções de :
Onde e são as soluções da equação homogênea.
Passo 7
Para encontrar e , usamos as seguintes fórmulas:
Onde é o Wronskiano de e , e é o termo não homogêneo da equação, que neste caso é .
Passo 8
Calculando o Wronskiano :
Passo 9
Agora, calculamos e :
Passo 10
Integrando e para encontrar e :
Essas integrais podem ser resolvidas usando a técnica de integração por partes várias vezes devido aos termos polinomiais multiplicados por exponentes.
Passo 11
Após realizar as integrações (que são um pouco trabalhosas), obtemos:
Passo 12
Substituindo e na expressão de :
Simplificando:
Passo 13
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
ã
Para simplificar a expressão final, podemos combinar os termos semelhantes e ajustar as constantes.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.