Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me passou: . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Vamos usar o método da variação dos parâmetros para achar a solução geral. Para isso, precisamos primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma e substituímos na equação para encontrar os valores de .

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Fatorando :
Como nunca é zero, temos:

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa usando o método da variação dos parâmetros.
O método da variação dos parâmetros assume que a solução particular pode ser escrita como uma combinação linear das soluções da equação homogênea, mas com coeficientes que são funções de :
Onde e são as soluções da equação homogênea.

Passo 7

Para encontrar e , usamos as seguintes fórmulas:
Onde é o Wronskiano de e , e é o termo não homogêneo da equação, que neste caso é .

Passo 8

Calculando o Wronskiano :

Passo 9

Agora, calculamos e :

Passo 10

Integrando e para encontrar e :
Essas integrais podem ser resolvidas usando a técnica de integração por partes várias vezes devido aos termos polinomiais multiplicados por exponentes.

Passo 11

Após realizar as integrações (que são um pouco trabalhosas), obtemos:

Passo 12

Substituindo e na expressão de :
Simplificando:

Passo 13

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
ã
Para simplificar a expressão final, podemos combinar os termos semelhantes e ajustar as constantes.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada. .
Verifique se equações diferenciais seguintes são exatas, e resolve as que o forem
Dê a solução geral da equação considerando que é uma solução da equação homogênea associada.
Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.