Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada. .

Passo 1

Beleza, então queremos resolver a equação diferencial usando o método de variação dos parâmetros. Isso faz parte da matéria de equações diferenciais ordinárias. Para resolver, vamos precisar encontrar as soluções da equação homogênea associada e depois aplicar o método de variação dos parâmetros para achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . As soluções dessa equação são combinações de funções trigonométricas. A solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que determinam a solução geral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Para isso, vamos usar o método de variação dos parâmetros, que envolve assumir que as constantes e não são mais constantes, mas funções de .

Passo 4

Vamos definir:
Calculando as derivadas:

Passo 5

Segundo o método de variação dos parâmetros, precisamos resolver o seguinte sistema para encontrar e :
Substituindo os valores de :

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
Fatorando :
Usando a identidade trigonométrica , temos:

Passo 7

Integrando :
Como buscamos uma solução particular, podemos ignorar a constante :

Passo 8

Voltando à primeira equação para encontrar :
Integrando :
Usando a identidade :
Ignorando a constante :

Passo 9

Agora, montamos a solução particular:
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitárias.

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Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
Dê a solução geral da equação considerando que é uma solução da equação homogênea associada.