Use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
.
Passo 1
Beleza, então queremos resolver a equação diferencial
usando o método de variação dos parâmetros. Isso faz parte da matéria de equações diferenciais ordinárias. Para resolver, vamos precisar encontrar as soluções da equação homogênea associada e depois aplicar o método de variação dos parâmetros para achar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. As soluções dessa equação são combinações de funções trigonométricas. A solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que determinam a solução geral.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Para isso, vamos usar o método de variação dos parâmetros, que envolve assumir que as constantes
e
não são mais constantes, mas funções de
.
Passo 4
Vamos definir:
Calculando as derivadas:
Passo 5
Segundo o método de variação dos parâmetros, precisamos resolver o seguinte sistema para encontrar
e
:
Substituindo os valores de
:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
- Da primeira equação:
- Substituindo na segunda equação:
Fatorando
:
Usando a identidade trigonométrica
, temos:
Passo 7
Integrando
:
Como buscamos uma solução particular, podemos ignorar a constante
:
Passo 8
Voltando à primeira equação para encontrar
:
Integrando
:
Usando a identidade
:
Ignorando a constante
:
Passo 9
Agora, montamos a solução particular:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitárias.
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Dê a solução geral da equação
considerando que
é uma solução da equação homogênea associada.