Use a Regra da Cadeia para achar as derivadas parciais
em cada item abaixo.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais
e
da função
, onde
e
. A matéria envolve derivadas parciais e a aplicação da Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como aplicar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. Se
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
, então a derivada parcial de
em relação a
é:
E de forma similar para
:
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas separadamente. Primeiro, as derivadas de
em relação a
e
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
e
:
Para
:
Para
, vamos usar a derivada de uma raiz:
Passo 5
Agora, substituímos todas essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia para
e
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Por fim, podemos simplificar as expressões:
Resposta
As derivadas parciais são: