Use a Regra da Cadeia para achar as derivadas parciais partial z / partial t e partial z / partial s em cada item abaixo.
(b) z=e^r cos (theta), com r=s t, theta=raizs^2+t^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais e da função , onde e . A matéria envolve derivadas parciais e a aplicação da Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como aplicar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. Se partial zpartial t = partial zpartial r cdot partial rpartial t + partial zpartial theta cdot partial thetapartial t depende de partial zpartial s = partial zpartial r cdot partial rpartial s + partial zpartial theta cdot partial thetapartial s e , que por sua vez dependem de e , então a derivada parcial de em relação a é:
E de forma similar para :

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas separadamente. Primeiro, as derivadas de partial zpartial r = partialpartial r (e^r cos (theta)) = e^r cos (theta) em relação a partial zpartial theta = partialpartial theta (e^r cos (theta)) = -e^r sin (theta) e :

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de partial rpartial t = s e partial rpartial s = t e partial thetapartial t = traizs^2 + t^2 = ttheta em relação a partial thetapartial s = sraizs^2 + t^2 = stheta e :
Para :
Para , vamos usar a derivada de uma raiz:

Passo 5

Agora, substituímos todas essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia para partial zpartial t = (e^r cos (theta)) cdot s + (-e^r sin (theta)) cdot ttheta e partial zpartial s = (e^r cos (theta)) cdot t + (-e^r sin (theta)) cdot stheta :
Para :
Para :

Passo 6

Por fim, podemos simplificar as expressões:
partial zpartial t = s e^r cos (theta) - t e^r sin (theta)theta
partial zpartial s = t e^r cos (theta) - s e^r sin (theta)theta

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial t = s e^s t cos (raizs^2 + t^2) - t e^s t sin (raizs^2 + t^2)raizs^2 + t^2
partial zpartial s = t e^s t cos (raizs^2 + t^2) - s e^s t sin (raizs^2 + t^2)raizs^2 + t^2

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