Use a Regra da Cadeia para achar as derivadas parciais
em cada item abaixo.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais
e
da função
, onde
e
. A matéria envolve derivadas parciais e a aplicação da Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como aplicar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. Se
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
, então a derivada parcial de
em relação a
é:
E de forma similar para
:
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas separadamente. Primeiro, as derivadas de
em relação a
e
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
e
:
Para
:
Para
, vamos usar a derivada de uma raiz:
Passo 5
Agora, substituímos todas essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia para
e
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Por fim, podemos simplificar as expressões:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Use a Regra da Cadeia para achar a derivada
em cada item abaixo.
(b) ,
.
(b)
Determine as derivadas parciais das funções abaixo:
Encontre o limite ou demonstre que não existe
In solving differential equations, the computations can almost always be simplified by the use of dimensionless variables. Show that if the dimensionless variable
is introduced, the heat conduction equation becomes