A soma de dois números irracionais é sempre irracional?

Passo 1

Vamos lá! A questão pergunta: “A soma de dois números irracionais é sempre irracional?” Estamos falando sobre números irracionais, que fazem parte da matemática, especificamente na área de números reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são números irracionais e como eles se comportam quando somados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número irracional. Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração simples, ou seja, não pode ser escrito na forma , onde e são inteiros e . Exemplos famosos de números irracionais são e .

Passo 3

Agora, a pergunta é: quando somamos dois números irracionais, o resultado sempre será irracional? Para responder isso, vamos analisar alguns exemplos.

Passo 4

Exemplo 1: Considere e . Ambos são números irracionais. Somando-os:
O resultado, , ainda é irracional.

Passo 5

Exemplo 2: Agora, vejamos e . Ambos são irracionais. Somando-os:
O resultado é , que é um número racional.

Passo 6

Esse segundo exemplo mostra que a soma de dois números irracionais pode resultar em um número racional. Portanto, a afirmação de que a soma de dois números irracionais é sempre irracional não é verdadeira.

Resposta

Não, a soma de dois números irracionais nem sempre é irracional. Dependendo dos números escolhidos, a soma pode ser racional ou irracional.

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Demonstre que . (Sugestão: Use a Equação 4.)
Isole , supondo que e sejam constantes negativas.
Reescreva a expressão sem usar o símbolo de valor absoluto
Reescreva a expressão sem usar o símbolo de valor absoluto