Some of the results requested in Problems 17 through 22 can be obtained either by solving the given equations analytically or by plotting numerically generated approximations to the solutions. Try to form an opinion about the advantages and disadvantages of each approach.
19. Solve the initial value problem
and determine where the solution attains its minimum value.
19. Solve the initial value problem
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um problema de valor inicial onde precisamos resolver a equação diferencial
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais, especificamente sobre equações separáveis ou fator integrante, para resolver essa equação. Precisaremos rearranjar a equação para integrar ambos os lados e encontrar a solução que satisfaz a condição inicial.
Passo 2
Começamos reescrevendo a equação diferencial:
Isso coloca a equação na forma:
Mas, para facilitar a resolução, vamos tentar separá-la. Reorganizando:
Passo 3
Agora, integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Tomando o recíproco:
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Simplificando:
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Podemos simplificar a expressão no denominador:
Passo 7
Para encontrar onde a solução atinge seu valor mínimo, analisamos o comportamento da função
. Observamos que o denominador
influencia diretamente o valor de
.
Vamos derivar
para encontrar os pontos críticos:
Derivando em relação a
:
Simplificando:
Igualando a derivada a zero para encontrar extremos:
Passo 8
Verificamos o comportamento da função em
:
Substituindo na expressão de
:
Como o denominador está positivo e a função alcança seu mínimo nesse ponto, concluímos que o valor mínimo é
em
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
E o valor mínimo da solução ocorre em
, onde
.
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Calcule as derivadas das funçōes:
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G 18. Solve the initial value problem
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and determine the interval in which the solution is valid.
Hint: To find the interval of definition, look for points where the integral curve has a vertical tangent.
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