Some of the results requested in Problems 17 through 22 can be obtained either by solving the given equations analytically or by plotting numerically generated approximations to the solutions. Try to form an opinion about the advantages and disadvantages of each approach.
G 18. Solve the initial value problem
and determine the interval in which the solution is valid.
Hint: To find the interval of definition, look for points where the integral curve has a vertical tangent.
G 18. Solve the initial value problem
Hint: To find the interval of definition, look for points where the integral curve has a vertical tangent.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial
com a condição
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e aplicar a separação de variáveis para achar a solução. Depois, vamos verificar em qual intervalo essa solução vale.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar
e
. Temos:
Multiplicando ambos os lados por
para separar as variáveis:
Passo 3
Agora, vamos integrar os dois lados da equação. Primeiro, a parte com
:
Integrando cada termo:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Passo 4
Igualamos as integrais e combinamos as constantes
e
em uma só constante
:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
e
:
Então, a equação da solução fica:
Passo 6
Para achar o intervalo onde a solução é válida, precisamos verificar onde a derivada
não está definida, ou seja, onde o denominador
é zero:
Nesses pontos, a derivada
tende ao infinito, o que indica tangentes verticais na curva solução. Como nossa condição inicial é
, que está entre
e
, a solução será válida nesse intervalo ao redor de
, onde a derivada está definida.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é dada pela equação implícita
, e ela é válida para valores de
próximos a 1 onde
permanece entre
e
. Ou seja, o intervalo de definição da solução é a região em torno de
onde a derivada não se torna infinita.
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19. Solve the initial value problem
19. Solve the initial value problem
and determine where the solution attains its minimum value.
Calcule as derivadas das funçōes:
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G 21. Consider the initial value problem
G 21. Consider the initial value problem
b. Suppose that
. Find the time
at which the solution first reaches the value 3.98.