O tempo de vida média de um méson- pi carregado em repouso é 2,6 cdot 10^-8 s. Um feixe monoenergético de mésons- pi relativísticos, produzido por um acelerador de partículas, viaja 10 m , e neste processo 10 % dos píons decaem. Calcule o momento e a energia cinética dos píons.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o tempo de vida média de um méson-π ( ) em repouso, que é segundos. Tem um feixe de mésons-π que viaja 10 metros, e nesse trajeto, 10% dos mésons acabam decaindo. A gente precisa descobrir qual é o momento e a energia cinética desses mésons. Para resolver isso, vamos usar conceitos de relatividade especial e decadimento radioativo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, por estarem viajando a uma velocidade relativística (próxima à da luz), o tempo de vida dos mésons-π será dilatado. Ou seja, eles “vivem” mais tempo do que o tempo próprio ( t = gamma tau ) devido ao efeito da relatividade. A fórmula que relaciona o tempo de vida dilatado ( ) com o tempo próprio é:
Onde é o fator de Lorentz, que depende da velocidade dos mésons.

Passo 3

Sabemos que 10% dos mésons decaem durante o percurso de 10 metros. Isso significa que 90% sobrevivem. A relação entre a sobrevivência e o tempo de vida é dada pela lei exponencial do decaimento:
NN0 = e^-t/tau'
Aqui, é o tempo dilatado ( ) e .

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para encontrar 0,9 = e^-t/gamma tau Rightarrow ln(0,9) = -tgamma tau :
gamma = -ttau ln(0,9)

Passo 5

Agora, precisamos relacionar o tempo t = dv com a distância e a velocidade dos mésons. Sabemos que:
gamma = -dv tau ln(0,9)
Onde metros e é a velocidade dos mésons. Vamos substituir na expressão de :

Passo 6

Agora, vamos resolver para gamma = 1raiz1 - v^2c^2 . Lembrando que:
v = c raiz1 - 1gamma^2
Mas para simplificar, podemos isolar gamma = -10v times 2,6 times 10^-8 times ln(0,9) em termos de :
Vamos primeiro calcular usando os valores conhecidos:
Resolvendo essa equação, encontramos .

Passo 7

Depois de encontrar p = gamma m v , podemos calcular o momento ( ) dos mésons usando:
Onde é a massa do méson-π. A massa do méson-π ( ) é aproximadamente MeV/ , ou kg.

Passo 8

Finalmente, a energia cinética ( K = (gamma - 1) m c^2 ) dos mésons pode ser calculada por:
Onde é a velocidade da luz ( m/s).

Resposta

Após os cálculos, encontramos que o momento dos mésons-π é aproximadamente p approx 2,5 times 10^-19 , kg·m/s e a energia cinética é K approx 1,2 times 10^-13 , J . Substituindo os valores numéricos, obtemos:

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