O tempo de vida média de um méson-
carregado em repouso é
. Um feixe monoenergético de mésons-
relativísticos, produzido por um acelerador de partículas, viaja 10 m , e neste processo
dos píons decaem. Calcule o momento e a energia cinética dos píons.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o tempo de vida média de um méson-π (
) em repouso, que é
segundos. Tem um feixe de mésons-π que viaja 10 metros, e nesse trajeto, 10% dos mésons acabam decaindo. A gente precisa descobrir qual é o momento e a energia cinética desses mésons. Para resolver isso, vamos usar conceitos de relatividade especial e decadimento radioativo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que, por estarem viajando a uma velocidade relativística (próxima à da luz), o tempo de vida dos mésons-π será dilatado. Ou seja, eles “vivem” mais tempo do que o tempo próprio (
) devido ao efeito da relatividade. A fórmula que relaciona o tempo de vida dilatado (
) com o tempo próprio é:
Onde
é o fator de Lorentz, que depende da velocidade dos mésons.
Passo 3
Sabemos que 10% dos mésons decaem durante o percurso de 10 metros. Isso significa que 90% sobrevivem. A relação entre a sobrevivência e o tempo de vida é dada pela lei exponencial do decaimento:
Aqui,
é o tempo dilatado (
) e
.
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para encontrar
:
Passo 5
Agora, precisamos relacionar o tempo
com a distância e a velocidade dos mésons. Sabemos que:
Onde
metros e
é a velocidade dos mésons. Vamos substituir na expressão de
:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
. Lembrando que:
Mas para simplificar, podemos isolar
em termos de
:
Vamos primeiro calcular
usando os valores conhecidos:
Resolvendo essa equação, encontramos
.
Passo 7
Depois de encontrar
, podemos calcular o momento (
) dos mésons usando:
Onde
é a massa do méson-π. A massa do méson-π (
) é aproximadamente
MeV/
, ou
kg.
Passo 8
Finalmente, a energia cinética (
) dos mésons pode ser calculada por:
Onde
é a velocidade da luz (
m/s).
Resposta
Após os cálculos, encontramos que o momento dos mésons-π é aproximadamente
e a energia cinética é
. Substituindo os valores numéricos, obtemos: