O tempo de vida média de um méson-
carregado em repouso é
. Um feixe monoenergético de mésons-
relativísticos, produzido por um acelerador de partículas, viaja 10 m , e neste processo
dos píons decaem. Calcule o momento e a energia cinética dos píons.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o tempo de vida média de um méson-π (
) em repouso, que é
segundos. Tem um feixe de mésons-π que viaja 10 metros, e nesse trajeto, 10% dos mésons acabam decaindo. A gente precisa descobrir qual é o momento e a energia cinética desses mésons. Para resolver isso, vamos usar conceitos de relatividade especial e decadimento radioativo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que, por estarem viajando a uma velocidade relativística (próxima à da luz), o tempo de vida dos mésons-π será dilatado. Ou seja, eles “vivem” mais tempo do que o tempo próprio (
) devido ao efeito da relatividade. A fórmula que relaciona o tempo de vida dilatado (
) com o tempo próprio é:
Onde
é o fator de Lorentz, que depende da velocidade dos mésons.
Passo 3
Sabemos que 10% dos mésons decaem durante o percurso de 10 metros. Isso significa que 90% sobrevivem. A relação entre a sobrevivência e o tempo de vida é dada pela lei exponencial do decaimento:
Aqui,
é o tempo dilatado (
) e
.
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para encontrar
:
Passo 5
Agora, precisamos relacionar o tempo
com a distância e a velocidade dos mésons. Sabemos que:
Onde
metros e
é a velocidade dos mésons. Vamos substituir na expressão de
:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
. Lembrando que:
Mas para simplificar, podemos isolar
em termos de
:
Vamos primeiro calcular
usando os valores conhecidos:
Resolvendo essa equação, encontramos
.
Passo 7
Depois de encontrar
, podemos calcular o momento (
) dos mésons usando:
Onde
é a massa do méson-π. A massa do méson-π (
) é aproximadamente
MeV/
, ou
kg.
Passo 8
Finalmente, a energia cinética (
) dos mésons pode ser calculada por:
Onde
é a velocidade da luz (
m/s).
Resposta
Após os cálculos, encontramos que o momento dos mésons-π é aproximadamente
e a energia cinética é
. Substituindo os valores numéricos, obtemos:
Exercícios relacionados
Dois pedaços de argila, cada um com massa
, colidem frontalmente com velocidades
e formam uma massa
em repouso. Determine
.
(Somente para masoquistas) Uma partícula carregada de massa desconhecida
e momento
muito maior que a massa do elétron
, cruza um detector. A uma certa profundidade dentro do material ativo, um elétron atômico é espalhado pela partícula por um ângulo
em relação ao momento
, e a energia do elétron espalhado
é medida. Mostre que a massa
pode ser estimada a partir da seguinte fórmula (
):
Um píon em repouso decai em um múon e em um neutrino. O múon tem um tempo de vida
, quanto ele viajará antes de se desintegrar?
Suponha que duas partículas idênticas de massa
e energia cinética
colidam frontalmente. Qual a energia cinética relativa entre eles,
(i.e., a energia cinética de um no referencial em que o outro está em repouso)?