Usando argumentos similiares à demontração do Teste da Integral na aula, ou no livro, demonstre a proposição a seguir: seja uma série sumk=1^infty ak=S convergente em que a sequência de termos positivos (ak) é tal que ak=f(k), com f positiva, contínua (portanto integrável) e descrescente, pelo menos, em x>n. Então, o resto Rn=S-Sn satisfaz a desigualdade:
integraln+1^infty f(x) d x <= Rn=sumk=n+1^infty ak <= integraln^infty f(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão quer. Temos uma série infinita que converge para . Os termos dessa série são positivos e seguem a forma , onde é uma função positiva, contínua e que diminui depois de certo ponto . O que precisamos mostrar é que o resto da série, , está entre duas integrais de . Para resolver isso, vamos usar o Teste da Integral, que relaciona séries e integrais de funções contínuas e decrescentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o resto da série. Rn = sumk=n+1^infty ak é a soma dos termos da série a partir de Rn = sumk=n+1^infty f(k) até o infinito:
Como , podemos reescrever:
Nosso objetivo é comparar essa soma com integrais da função .

Passo 3

Vamos visualizar a função no intervalo . Como é decrescente, os valores de são maiores ou iguais a para no intervalo . Isso nos permite criar retângulos para comparar com a área sob a curva de .

Passo 4

Para a parte inferior da desigualdade, consideramos que cada f(k+1) <= integralk^k+1 f(x) , dx é menor ou igual à integral de sumk=n+1^infty f(k) <= integraln+1^infty f(x) , dx de integraln+1^infty f(x) , dx <= Rn até :
Somando isso de até o infinito:
Portanto, temos:

Passo 5

Para a parte superior, observamos que cada f(k) >= integralk-1^k f(x) , dx é maior ou igual à integral de sumk=n+1^infty f(k) >= integraln^infty f(x) , dx de Rn = sumk=n+1^infty f(k) <= integraln^infty f(x) , dx até :
Somando de até o infinito:
Assim, temos:

Resposta

Com isso, demonstramos que o resto da série integraln+1^infty f(x) , dx <= Rn = sumk=n+1^infty ak <= integraln^infty f(x) , dx satisfaz a desigualdade:

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