Usando argumentos similiares à demontração do Teste da Integral na aula, ou no livro, demonstre a proposição a seguir: seja uma série
convergente em que a sequência de termos positivos
é tal que
, com
positiva, contínua (portanto integrável) e descrescente, pelo menos, em
. Então, o resto
satisfaz a desigualdade:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão quer. Temos uma série infinita
que converge para
. Os termos dessa série são positivos e seguem a forma
, onde
é uma função positiva, contínua e que diminui depois de certo ponto
. O que precisamos mostrar é que o resto da série,
, está entre duas integrais de
. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Integral, que relaciona séries e integrais de funções contínuas e decrescentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é o resto da série.
é a soma dos termos da série a partir de
até o infinito:
Como
, podemos reescrever:
Nosso objetivo é comparar essa soma com integrais da função
.
Passo 3
Vamos visualizar a função
no intervalo
. Como
é decrescente, os valores de
são maiores ou iguais a
para
no intervalo
. Isso nos permite criar retângulos para comparar com a área sob a curva de
.
Passo 4
Para a parte inferior da desigualdade, consideramos que cada
é menor ou igual à integral de
de
até
:
Somando isso de
até o infinito:
Portanto, temos:
Passo 5
Para a parte superior, observamos que cada
é maior ou igual à integral de
de
até
:
Somando de
até o infinito:
Assim, temos:
Resposta
Com isso, demonstramos que o resto da série
satisfaz a desigualdade:
Exercícios relacionados
Verifique se as séries convergem ou divergem.
Se
é série de termos positivos convergente, então, o que se pode dizer a respeito de
? Demonstre.
Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem.
,
Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem.
,