Usando argumentos similiares à demontração do Teste da Integral na aula, ou no livro, demonstre a proposição a seguir: seja uma série convergente em que a sequência de termos positivos é tal que , com positiva, contínua (portanto integrável) e descrescente, pelo menos, em . Então, o resto satisfaz a desigualdade:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão quer. Temos uma série infinita que converge para . Os termos dessa série são positivos e seguem a forma , onde é uma função positiva, contínua e que diminui depois de certo ponto . O que precisamos mostrar é que o resto da série, , está entre duas integrais de . Para resolver isso, vamos usar o Teste da Integral, que relaciona séries e integrais de funções contínuas e decrescentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o resto da série. é a soma dos termos da série a partir de até o infinito:
Como , podemos reescrever:
Nosso objetivo é comparar essa soma com integrais da função .

Passo 3

Vamos visualizar a função no intervalo . Como é decrescente, os valores de são maiores ou iguais a para no intervalo . Isso nos permite criar retângulos para comparar com a área sob a curva de .

Passo 4

Para a parte inferior da desigualdade, consideramos que cada é menor ou igual à integral de de até :
Somando isso de até o infinito:
Portanto, temos:

Passo 5

Para a parte superior, observamos que cada é maior ou igual à integral de de até :
Somando de até o infinito:
Assim, temos:

Resposta

Com isso, demonstramos que o resto da série satisfaz a desigualdade:

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Verifique se as séries convergem ou divergem.
Se é série de termos positivos convergente, então, o que se pode dizer a respeito de ? Demonstre.
Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem. ,
Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem. ,