Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem.
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o Teste de Comparação para verificar se a série
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para termos uma ideia melhor de como ela se comporta quando
fica grande. Observando
, para valores grandes de
, os termos
e
tornam-se insignificantes comparados com
e
. Assim, podemos aproximar:
Passo 3
Agora, vamos escolher uma série com a qual comparar. A série
é uma boa candidata porque sabemos que ela converge. Essa é uma série p, onde
, garantindo a convergência.
Passo 4
Comparamos os termos das duas séries:
Como todos os termos são positivos e a série de comparação
converge, pelo Teste de Comparação, a série original
também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste de Comparação.
Exercícios relacionados
Usando argumentos similiares à demontração do Teste da Integral na aula, ou no livro, demonstre a proposição a seguir: seja uma série
convergente em que a sequência de termos positivos
é tal que
, com
positiva, contínua (portanto integrável) e descrescente, pelo menos, em
. Então, o resto
satisfaz a desigualdade:
Verifique se as séries convergem ou divergem.
Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem.
,
Se
é série de termos positivos convergente, então, o que se pode dizer a respeito de
? Demonstre.