Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem. ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o Teste de Comparação para verificar se a série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para termos uma ideia melhor de como ela se comporta quando fica grande. Observando , para valores grandes de , os termos e tornam-se insignificantes comparados com e . Assim, podemos aproximar:

Passo 3

Agora, vamos escolher uma série com a qual comparar. A série é uma boa candidata porque sabemos que ela converge. Essa é uma série p, onde , garantindo a convergência.

Passo 4

Comparamos os termos das duas séries:
Como todos os termos são positivos e a série de comparação converge, pelo Teste de Comparação, a série original também converge.

Resposta

A série converge pelo Teste de Comparação.

Exercícios relacionados

Usando argumentos similiares à demontração do Teste da Integral na aula, ou no livro, demonstre a proposição a seguir: seja uma série convergente em que a sequência de termos positivos é tal que , com positiva, contínua (portanto integrável) e descrescente, pelo menos, em . Então, o resto satisfaz a desigualdade:
Verifique se as séries convergem ou divergem.
Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem. ,
Se é série de termos positivos convergente, então, o que se pode dizer a respeito de ? Demonstre.