Teste a convergência ou divergência das séries.
Passo 1
Vamos analisar a série
. Nosso objetivo é verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada e entender como as propriedades do logaritmo influenciam a série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
Substituindo na série original:
Agora, podemos reescrever a série como:
Nesse formato, fica mais fácil aplicar o Teste da Série Alternada.
Passo 3
O Teste da Série Alternada afirma que uma série da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
- A sequência
é decrescente, ou seja, para todo . - O limite de
quando tende ao infinito é zero: .
No nosso caso, temos
. Vamos verificar as condições:
- Decrescimento:
é uma função crescente, ou seja, conforme aumenta, também aumenta. Portanto, a sequência não é decrescente. - Limite:
, que não é igual a zero.
Passo 4
Como a sequência
não é decrescente e o limite de
não é zero, a série não atende aos critérios do Teste da Série Alternada. Isso significa que a série não converge por esse teste.
Resposta
A série diverge.
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Se
for uma série convergente com termos positivos, é verdade que
também será convergente? Justifique.
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