Teste a convergência ou divergência das séries.

Passo 1

Vamos analisar a série . Nosso objetivo é verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada e entender como as propriedades do logaritmo influenciam a série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
Substituindo na série original:
Agora, podemos reescrever a série como:
Nesse formato, fica mais fácil aplicar o Teste da Série Alternada.

Passo 3

O Teste da Série Alternada afirma que uma série da forma converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. A sequência é decrescente, ou seja, para todo .
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero: .
No nosso caso, temos . Vamos verificar as condições:
  1. Decrescimento: é uma função crescente, ou seja, conforme aumenta, também aumenta. Portanto, a sequência não é decrescente.
  2. Limite: , que não é igual a zero.

Passo 4

Como a sequência não é decrescente e o limite de não é zero, a série não atende aos critérios do Teste da Série Alternada. Isso significa que a série não converge por esse teste.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Teste a convergência ou divergência das séries.
Teste a convergência ou divergência das séries.
Se for uma série convergente com termos positivos, é verdade que também será convergente? Justifique.
Teste a convergência ou divergência das séries.