Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=2^infty(-1)^n ln 1n

Passo 1

Vamos analisar a série sumn=2^infty(-1)^n ln 1n. Nosso objetivo é verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada e entender como as propriedades do logaritmo influenciam a série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
ln 1n = -ln n
Substituindo na série original:
sumn=2^infty (-1)^n ln 1n = sumn=2^infty (-1)^n (-ln n) = sumn=2^infty (-1)^n+1 ln n
Agora, podemos reescrever a série como:
sumn=2^infty (-1)^n+1 ln n
Nesse formato, fica mais fácil aplicar o Teste da Série Alternada.

Passo 3

O Teste da Série Alternada afirma que uma série da forma sumn=1^infty (-1)^n bn converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. A sequência bn é decrescente, ou seja, bn+1 <= bn para todo n.
  2. O limite de bn quando n tende ao infinito é zero: limn to infty bn = 0.
No nosso caso, temos bn = ln n. Vamos verificar as condições:
  1. Decrescimento: ln n é uma função crescente, ou seja, conforme n aumenta, ln n também aumenta. Portanto, a sequência bn não é decrescente.
  2. Limite: limn to infty ln n = infty, que não é igual a zero.

Passo 4

Como a sequência bn não é decrescente e o limite de bn não é zero, a série não atende aos critérios do Teste da Série Alternada. Isso significa que a série não converge por esse teste.

Resposta

A série diverge.

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