Teste a convergência ou divergência das séries.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, soma até um número finito) ou diverge (soma para o infinito). Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos da série:
. Aqui, o denominador tem dois componentes:
e
. Sabemos que
cresce muito rápido conforme
aumenta, enquanto
oscila entre -1 e 1. Então, para valores grandes de
,
domina o denominador, tornando
praticamente desprezível.
Passo 3
Com isso em mente, podemos aproximar o termo da série para facilitar a análise:
Esta aproximação nos lembra de uma série geométrica:
. Sabemos que séries geométricas da forma
convergem se
. No nosso caso,
, que é menor que 1, então essa série converge.
Passo 4
Agora, vamos usar o Teste da Comparação. Como
(porque
), e sabemos que
converge, então pela comparação:
também converge.
Resposta
A série
converge.
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Se
for uma série convergente com termos positivos, é verdade que
também será convergente? Justifique.