Teste a convergência ou divergência das séries.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar: . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, soma até um número finito) ou diverge (soma para o infinito). Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos da série: . Aqui, o denominador tem dois componentes: e . Sabemos que cresce muito rápido conforme aumenta, enquanto oscila entre -1 e 1. Então, para valores grandes de , domina o denominador, tornando praticamente desprezível.

Passo 3

Com isso em mente, podemos aproximar o termo da série para facilitar a análise:
Esta aproximação nos lembra de uma série geométrica: . Sabemos que séries geométricas da forma convergem se . No nosso caso, , que é menor que 1, então essa série converge.

Passo 4

Agora, vamos usar o Teste da Comparação. Como (porque ), e sabemos que converge, então pela comparação:
também converge.

Resposta

A série converge.

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Se for uma série convergente com termos positivos, é verdade que também será convergente? Justifique.